True or False: Every separable first-order equation d y / d x=g(x) h(y) is exact.

Passo 1

Temos a equação de primeira ordem separável
dydx=g(x),h(y)
e queremos ver se ela é exata, ou seja, se ao escrevê-la na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
vale
partial Mpartial y=partial Npartial x

Passo 2

Reescrevendo tudo num lado, fica
dy - g(x),h(y),dx = 0
Daí identificamos
M(x,y) = -,g(x),h(y), N(x,y)=1

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =-,g(x),h'(y), partial Npartial x=0
Como em geral h'(y)neq0, não se tem partial M/partial y=partial N/partial x, logo não é exata.

Passo 4

Concluímos que nem toda equação separável é exata sem usar fator integrante.

Resposta

False.

Exercícios relacionados