2 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x^2 y^4x^6+2 y^6

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite
lim(x,y)to(0,0) 2x^2y^4x^6+2y^6
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e a verificação de existência do limite, testando se o valor é o mesmo ao longo de diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Para ver se o limite existe, vamos aproximar (x,y)to(0,0) ao longo de retas do tipo y=kx, com k constante. Se o limite depender de k, então não existe.

Passo 3

Na reta y=kx temos
y^4=(kx)^4=k^4x^4, y^6=(kx)^6=k^6x^6
Substituindo em
2x^2y^4x^6+2y^6
2x^2,(k^4x^4)x^6+2,(k^6x^6) =2k^4x^6x^6(1+2k^6) =2k^41+2k^6
Como esse resultado não depende de x, o limite nesta reta é
limxto02x^2y^4x^6+2y^6 =2k^41+2k^6

Passo 4

Note que o valor 2k^41+2k^6 varia com k. Por exemplo:
  • Se k=0, o valor é tfrac2cdot0^41+2cdot0^6=0.
  • Se k=1, o valor é tfrac2cdot1^41+2cdot1^6=tfrac23neq0.
Como obtivemos dois valores diferentes aproximando por caminhos distintos, o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe, pois depende da reta de aproximação y=kx (por exemplo dá 0 para k=0 e tfrac23 para k=1).

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