Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite de uma função de duas variáveis:
Queremos analisar
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e vamos precisar investigar se o valor do quociente depende do caminho de aproximação.
Passo 2
Uma forma clássica de checar existência de limite é aproximar por diferentes curvas que passem pela origem. Vamos usar a família de retas quadráticas
onde
é um parâmetro constante.
Passo 3
Substituindo
na expressão, temos:
Observe que esse valor independe de
quando
, mas depende de
.
Passo 4
Como esse limite alongadas pelas curvas
é
, ele varia com
. Por exemplo, para
obtemos zero, e para
obtemos
. Logo, não há um valor único para o limite quando
.
Resposta
O limite não existe.