Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x^2 yx^4+y^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite de uma função de duas variáveis:
Queremos analisar
lim(x,y)to(0,0) 2x^2yx^4+y^2
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e vamos precisar investigar se o valor do quociente depende do caminho de aproximação.

Passo 2

Uma forma clássica de checar existência de limite é aproximar por diferentes curvas que passem pela origem. Vamos usar a família de retas quadráticas
y = k,x^2,
onde k é um parâmetro constante.

Passo 3

Substituindo y = k x^2 na expressão, temos:
2x^2(k x^2)x^4 + (k x^2)^2 = 2k x^4x^4 + k^2x^4 = 2k x^4x^4(1+k^2) = 2k1+k^2
Observe que esse valor independe de x quando xto0, mas depende de k.

Passo 4

Como esse limite alongadas pelas curvas y=kx^2 é 2k/(1+k^2), ele varia com k. Por exemplo, para k=0 obtemos zero, e para k=1 obtemos 1. Logo, não há um valor único para o limite quando (x,y)to(0,0).

Resposta

O limite não existe.

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