Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Nesse exercício a gente quer desenhar o mapa de contornos (curvas de nível) da função z definida por z = √((x+1)² + y²) + √((x−1)² + y²). O conteúdo principal é entender que curvas de nível são conjuntos de pontos (x,y) que mantêm z constante e que aqui z é a soma de distâncias a dois focos.
Passo 2
Para um valor fixo c de z, temos √((x+1)² + y²) + √((x−1)² + y²) = c. Geometricamente, isso diz que o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a (−1,0) e a (1,0) é igual a c é uma elipse, desde que c seja maior que a distância entre os focos (que é 2).
Como a distância entre os focos é 2, é preciso ter c > 2. Definimos a semieixo maior a = c/2 (logo a > 1). Sabemos da definição de elipse que, se 2a é a soma das distâncias aos focos e a distância focal (2cₑ) é 2, então cₑ = 1 e o semieixo menor b satisfaz b² = a² − cₑ² = (c/2)² − 1.
Como a distância entre os focos é 2, é preciso ter c > 2. Definimos a semieixo maior a = c/2 (logo a > 1). Sabemos da definição de elipse que, se 2a é a soma das distâncias aos focos e a distância focal (2cₑ) é 2, então cₑ = 1 e o semieixo menor b satisfaz b² = a² − cₑ² = (c/2)² − 1.
Passo 3
Passando para a forma padrão da elipse, dividimos a soma de distâncias e obtemos a equação em (x,y):
Para ilustrar, aqui vão alguns exemplos de curvas de nível:
Para c = 2.5 ⇒ a = 1.25, b = √(1.25² −1) = 0.75, elipse
Para c = 3 ⇒ a = 1.5, b = √(1.5² −1) = √1.25 ≈1.118, elipse
Para c = 4 ⇒ a = 2, b = √(2² −1) = √3 ≈1.732, elipse
Passo 4
Basta traçar essas elipses (e outras para mais valores de c) para obter o mapa de contornos.
Resposta
As curvas de nível de
são elipses com focos em (−1,0) e (1,0), dadas implicitamente por
ou, na forma padrão,