Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
z=raiz(x+1)^2+y^2+raiz(x-1)^2+y^2

Passo 1

Nesse exercício a gente quer desenhar o mapa de contornos (curvas de nível) da função z definida por z = √((x+1)² + y²) + √((x−1)² + y²). O conteúdo principal é entender que curvas de nível são conjuntos de pontos (x,y) que mantêm z constante e que aqui z é a soma de distâncias a dois focos.

Passo 2

Para um valor fixo c de z, temos √((x+1)² + y²) + √((x−1)² + y²) = c. Geometricamente, isso diz que o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a (−1,0) e a (1,0) é igual a c é uma elipse, desde que c seja maior que a distância entre os focos (que é 2).
Como a distância entre os focos é 2, é preciso ter c > 2. Definimos a semieixo maior a = c/2 (logo a > 1). Sabemos da definição de elipse que, se 2a é a soma das distâncias aos focos e a distância focal (2cₑ) é 2, então cₑ = 1 e o semieixo menor b satisfaz b² = a² − cₑ² = (c/2)² − 1.

Passo 3

Passando para a forma padrão da elipse, dividimos a soma de distâncias e obtemos a equação em (x,y):
x^2(c/2)^2 + y^2(c/2)^2 - 1 = 1,que descreve cada curva de nível para um valor de c > 2. Essas elipses são concêntricas, com eixo maior ao longo de x e focos em (−1,0) e (1,0).
Para ilustrar, aqui vão alguns exemplos de curvas de nível:
Para c = 2.5 ⇒ a = 1.25, b = √(1.25² −1) = 0.75, elipse x²/1.25² + y²/0.75² = 1²²²².
Para c = 3 ⇒ a = 1.5, b = √(1.5² −1) = √1.25 ≈1.118, elipse x²/1.5² + y²/1.118² = 1²²²².
Para c = 4 ⇒ a = 2, b = √(2² −1) = √3 ≈1.732, elipse x²/2² + y²/1.732² = 1²²²².

Passo 4

Basta traçar essas elipses (e outras para mais valores de c) para obter o mapa de contornos.

Resposta

As curvas de nível de z=raiz(x+1)^2+y^2+raiz(x-1)^2+y^2 são elipses com focos em (−1,0) e (1,0), dadas implicitamente por
raiz(x+1)^2+y^2+raiz(x-1)^2+y^2=c, c>2,
ou, na forma padrão,
x^2(c/2)^2+y^2(c/2)^2-1=1

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