Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x-4 y6 y+7 x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite é o mesmo quando a gente se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar se aproximar de x - 4(0)6(0) + 7x = x7x = 17 ao longo do eixo . Nesse caso, . Substituindo na função:
Então, pelo eixo , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos se aproximar ao longo do eixo 0 - 4y6y + 7(0) = -4y6y = -46 = -23 . Aqui, . Substituindo na função:
Pelo eixo , o limite é .

Passo 4

Observamos que os limites obtidos pelos dois caminhos são diferentes: pelo eixo e pelo eixo . Isso significa que o limite depende da direção que a gente escolhe para se aproximar de .

Resposta

Como os limites pelos caminhos são diferentes, o limite não existe.

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