Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,1) x^2-2 x yx^2-4 y^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (2,1) x^2-2 x yx^2-4 y^2
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir o valor que a expressão se aproxima quando os valores de e se aproximam de 2 e 1, respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e verificar se o limite existe ou não, observando se o valor é o mesmo quando nos aproximamos pelo diferentes caminhos.

Passo 2

Vamos começar substituindo diretamente os valores de x^2 - 2xy = 2^2 - 2 times 2 times 1 = 4 - 4 = 0 e x^2 - 4y^2 = 2^2 - 4 times 1^2 = 4 - 4 = 0 na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente:
Numerador:
Denominador:
Obtemos uma forma , que é indeterminada. Isso significa que precisamos analisar mais a fundo para determinar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como x^2 - 2xy = x(x - 2y) , uma técnica útil é fatorar a expressão para simplificar. Vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)
Denominador:
x(x - 2y)(x - 2y)(x + 2y)
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a expressão cancelando o fator comum x cancel(x - 2y)cancel(x - 2y)(x + 2y) = xx + 2y no numerador e no denominador:
22 + 2 times 1 = 24 = 12
A expressão simplificada é . Agora, podemos recalcular o limite substituindo e :

Resposta

O limite é .

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