Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir o valor que a expressão
se aproxima quando os valores de
e
se aproximam de 2 e 1, respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e verificar se o limite existe ou não, observando se o valor é o mesmo quando nos aproximamos pelo diferentes caminhos.
Passo 2
Vamos começar substituindo diretamente os valores de
e
na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente:
Numerador:
Denominador:
Obtemos uma forma
, que é indeterminada. Isso significa que precisamos analisar mais a fundo para determinar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, uma técnica útil é fatorar a expressão para simplificar. Vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a expressão original fica:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a expressão cancelando o fator comum
no numerador e no denominador:
A expressão simplificada é
. Agora, podemos recalcular o limite substituindo
e
:
Resposta
O limite é
.