Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1, omega) x y-y(x-1)^2+y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que determinar o limite da função x y - y(x-1)^2 + y^2 quando o ponto (x, y) se aproxima de (1, omega). Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, precisamos verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que escolhemos para chegar ao ponto (1, omega).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da função para facilitar a análise. Observando o numerador, podemos fatorar o y:
x y - y(x-1)^2 + y^2 = y(x - 1)(x-1)^2 + y^2

Passo 3

Agora, para analisar o limite, é útil trocar para coordenadas polares, onde:
x - 1 = r costheta y = r sintheta
Aqui, r representa a distância do ponto (x, y) até (1, 0), e theta é o ângulo dessa posição.

Passo 4

Substituindo essas expressões na função, temos:
y(x - 1)(x-1)^2 + y^2 = r sintheta cdot r costhetar^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta
Simplificando o denominador:
r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^2
Portanto, a função fica:
r^2 sintheta costhetar^2 = sintheta costheta

Passo 5

Agora, observamos que o resultado sintheta costheta depende do ângulo theta. Isso significa que, dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de (1, omega), o valor do limite pode variar.
Por exemplo:
  • Se theta = 0, então sintheta costheta = 0.
  • Se theta = pi4, então sintheta costheta = 12.
Como obtemos valores diferentes para o limite dependendo de theta, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque o valor depende da direção pela qual nos aproximamos de (1, omega).

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