Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que determinar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, precisamos verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que escolhemos para chegar ao ponto
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão da função para facilitar a análise. Observando o numerador, podemos fatorar o
:
Passo 3
Agora, para analisar o limite, é útil trocar para coordenadas polares, onde:
Aqui,
representa a distância do ponto
até
, e
é o ângulo dessa posição.
Passo 4
Substituindo essas expressões na função, temos:
Simplificando o denominador:
Portanto, a função fica:
Passo 5
Agora, observamos que o resultado
depende do ângulo
. Isso significa que, dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, o valor do limite pode variar.
Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então .
Como obtemos valores diferentes para o limite dependendo de
, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe porque o valor depende da direção pela qual nos aproximamos de
.