Determine o volume dos sólidos descritos a seguir. Abaixo do parabolóide hiperbólico z = 4 + x^2 - y^2 e acima do retângulo R = [-2,1] x [1,2] no plano x y.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos encontrar o volume do sólido que está abaixo da parábola hiperbólica e acima do retângulo no plano .
Matéria envolvida: Integrais duplas para calcular volumes de sólidos.
O que precisamos:
  • Compreender como montar uma integral dupla.
  • Identificar os limites de integração a partir da região .
  • Aplicar as funções corretamente dentro da integral.

Passo 2

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar uma integral dupla. A fórmula geral para o volume é:
Onde e é o elemento de área no plano .

Passo 3

Identificando os limites de integração:
O retângulo significa que:
  • varia de -2 a 1
  • varia de 1 a 2

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:

Passo 5

Vamos integrar primeiro com relação a :
Calculando termo a termo:
Então:

Passo 6

Substituindo os valores de :
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 7

Agora, a integral fica mais simples:
Integrando termo a termo:

Passo 8

Aplicando os limites de integração de a :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é igual a 8 unidades cúbicas.

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