Determine o volume dos sólidos descritos a seguir. Abaixo do parabolóide hiperbólico
e acima do retângulo
no plano
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Precisamos encontrar o volume do sólido que está abaixo da parábola hiperbólica
e acima do retângulo
no plano
.
Matéria envolvida: Integrais duplas para calcular volumes de sólidos.
O que precisamos:
- Compreender como montar uma integral dupla.
- Identificar os limites de integração a partir da região
. - Aplicar as funções corretamente dentro da integral.
Passo 2
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar uma integral dupla. A fórmula geral para o volume
é:
Onde
e
é o elemento de área no plano
.
Passo 3
Identificando os limites de integração:
O retângulo
significa que:
-
varia de -2 a 1 -
varia de 1 a 2
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
Passo 5
Vamos integrar primeiro com relação a
:
Calculando termo a termo:
Então:
Passo 6
Substituindo os valores de
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 7
Agora, a integral fica mais simples:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de
a
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido é igual a 8 unidades cúbicas.