Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede o limite da função de três variáveis
quando
. O conteúdo aqui é análise de limites em função de várias variáveis, distinguindo o caso em que o denominador no ponto de interesse é não nulo (continuidade) e o caso em que numerador e denominador tendem a zero (uso de caminhos).
Passo 2
Suponha primeiro que
. Então no ponto
o denominador vale
logo
é contínua em
. Por continuidade,
Passo 3
Agora considere o caso
. Então estudamos
Aqui numerador e denominador vão a zero, então pode não haver limite único.
Passo 4
Escolhendo caminhos diferentes:
- No caminho
temos
- No caminho
obtemos
Como
, o limite depende do caminho.
Passo 5
Pelo teste de caminhos diferentes, concluímos que não existe limite quando
.
Resposta
Para
,
Para
, o limite não existe.