Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y, a) \rightarrow(a, a, a)} \frac{y z}{x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de três variáveis
f(x,y,z)=\frac{y\,z}{x^{2}+4y^{2}+9z^{2}}
quando (x,y,z)\to(a,a,a). O conteúdo aqui é análise de limites em função de várias variáveis, distinguindo o caso em que o denominador no ponto de interesse é não nulo (continuidade) e o caso em que numerador e denominador tendem a zero (uso de caminhos).

Passo 2

Suponha primeiro que a\neq0. Então no ponto (a,a,a) o denominador vale
a^{2}+4a^{2}+9a^{2}=14a^{2}\neq0,
logo f é contínua em (a,a,a). Por continuidade,
\lim_{(x,y,z)\to(a,a,a)}f(x,y,z) =\frac{a\cdot a}{a^{2}+4a^{2}+9a^{2}} =\frac{a^{2}}{14a^{2}} =\frac{1}{14}.

Passo 3

Agora considere o caso a=0. Então estudamos
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{y\,z}{x^{2}+4y^{2}+9z^{2}}.
Aqui numerador e denominador vão a zero, então pode não haver limite único.

Passo 4

Escolhendo caminhos diferentes:
  1. No caminho x=0,\;y=t,\;z=t temos
f(0,t,t)=\frac{t\cdot t}{0+4t^{2}+9t^{2}} =\frac{t^{2}}{13t^{2}} =\frac{1}{13}.
  1. No caminho x=0,\;y=2t,\;z=t obtemos
f(0,2t,t)=\frac{2t\cdot t}{0+4\,(2t)^{2}+9t^{2}} =\frac{2t^{2}}{16t^{2}+9t^{2}} =\frac{2}{25}.
Como \tfrac{1}{13}\neq\tfrac{2}{25}, o limite depende do caminho.

Passo 5

Pelo teste de caminhos diferentes, concluímos que não existe limite quando a=0.

Resposta

Para a\neq0,
\lim_{(x,y,z)\to(a,a,a)}\frac{y\,z}{x^{2}+4y^{2}+9z^{2}} =\frac{1}{14}.
Para a=0, o limite não existe.

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