Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(a, 0)} \frac{x^{2} \operatorname{sen}^{2} y}{x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(a,0)} \frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}.
Aqui usaremos dois argumentos: se a\neq0 a função é contínua em (a,0) porque o denominador não se anula, e se a=0 aplicamos o Teorema do Confronto (squeeze theorem) usando \sin^{2}y\le y^{2}.

Passo 2

Caso a\neq0:
Quando (x,y)\to(a,0) temos x^{2}+2y^{2}\to a^{2}\neq0. Logo o quociente é a composição de funções contínuas num ponto de denominador não nulo, e podemos substituir diretamente
\lim_{(x,y)\to(a,0)} \frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}} =\frac{a^{2}\,\sin^{2}(0)}{a^{2}+0} =\frac{a^{2}\cdot 0}{a^{2}} =0.

Passo 3

Caso a=0:
Aqui (x,y)\to(0,0) e o denominador também tende a zero, então usamos o confronto. Para todo (x,y) vale
0\le \frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}} \le \frac{x^{2}\,y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}.
Além disso
\frac{x^{2}\,y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} \le \frac{x^{2}\,y^{2}}{2y^{2}} =\frac{x^{2}}{2}.
Quando (x,y)\to(0,0) temos x^{2}/2\to0. Pelo Teorema do Confronto conclui-se que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}=0.

Passo 4

Em ambas as situações — a\neq0 e a=0 — o limite existe e vale zero.

Resposta

0

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