Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\cos (x y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+25}-\sqrt{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o limite, se existir, de
\frac{\cos(xy)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+25}-\sqrt{2}}
quando (x,y)\to(0,0).
Informações dadas (resumindo o que temos no enunciado):
\text{numerador} = \cos(xy),\qquad \text{denominador} = \sqrt{x^{2}+y^{2}+25}-\sqrt{2},
e o ponto de interesse é (x,y)=(0,0).

Passo 2

Vamos estudar o comportamento do numerador quando (x,y)\to(0,0).
Primeiro note que o produto (x,y)\mapsto xy tende a 0 quando (x,y)\to(0,0). Uma justificativa simples é usar a desigualdade
|xy|\leq\frac{x^{2}+y^{2}}{2},
que resulta da desigualdade aritmético-geométrica. Como x^{2}+y^{2}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue que xy\to 0.
A função \cos é contínua em todo \mathbb{R}. Portanto, pela continuidade da composição, temos
\cos(xy)\to\cos(0)=1\quad\text{quando}\quad (x,y)\to(0,0).
Explicando de forma bem didática: continuidade da \cos significa que valores da entrada próximos a 0 produzem valores da \cos próximos a \cos(0). Como xy fica pequeno, \cos(xy) fica próximo de 1.

Passo 3

Agora o denominador. Considere a função
g(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+25}-\sqrt{2}.
A função h(t)=\sqrt{t} é contínua para t\ge 0. Como x^{2}+y^{2}+25\to 25 quando (x,y)\to(0,0), pela continuidade temos
\sqrt{x^{2}+y^{2}+25}\to\sqrt{25}=5.
Logo o denominador tende a
5-\sqrt{2}.
Observe que 5-\sqrt{2}\neq 0 (porque 5 e \sqrt{2} são números diferentes), portanto o limite do denominador é um número diferente de zero. Isso é importante porque para dividir pelos limites podemos só fazê-lo quando o limite do denominador não é zero.

Passo 4

Usando a propriedade de limites para funções de várias variáveis: se \lim_{(x,y)\to(0,0)} A(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(0,0)} B(x,y)=M com M\neq 0, então
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{A(x,y)}{B(x,y)}=\frac{L}{M}.
Aqui já mostramos que A(x,y)=\cos(xy) tende a 1 e B(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+25}-\sqrt{2} tende a 5-\sqrt{2}\neq 0. Portanto o limite pedido existe e vale
\frac{1}{5-\sqrt{2}}.
Para deixar a resposta numa forma mais “bonitinha”, racionalizamos o denominador:
\frac{1}{5-\sqrt{2}}\cdot\frac{5+\sqrt{2}}{5+\sqrt{2}}=\frac{5+\sqrt{2}}{25-2}=\frac{5+\sqrt{2}}{23}.

Passo 5

Recapitulando de forma motivadora: o numerador tende para 1 porque xy\to 0 e \cos é contínua; o denominador tende para 5-\sqrt{2}, que é não-nulo; então o quociente tende para \dfrac{1}{5-\sqrt{2}}=\dfrac{5+\sqrt{2}}{23}. Você já conseguiu — ficou simples quando vimos que nada singular acontecia no denominador!

Resposta

\dfrac{5+\sqrt{2}}{23}

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