Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o limite, se existir, de
quando
.
Informações dadas (resumindo o que temos no enunciado):
e o ponto de interesse é
.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento do numerador quando
.
Primeiro note que o produto
tende a
quando
. Uma justificativa simples é usar a desigualdade
que resulta da desigualdade aritmético-geométrica. Como
quando
, segue que
.
A função
é contínua em todo
. Portanto, pela continuidade da composição, temos
Explicando de forma bem didática: continuidade da
significa que valores da entrada próximos a
produzem valores da
próximos a
. Como
fica pequeno,
fica próximo de
.
Passo 3
Agora o denominador. Considere a função
A função
é contínua para
. Como
quando
, pela continuidade temos
Logo o denominador tende a
Observe que
(porque
e
são números diferentes), portanto o limite do denominador é um número diferente de zero. Isso é importante porque para dividir pelos limites podemos só fazê-lo quando o limite do denominador não é zero.
Passo 4
Usando a propriedade de limites para funções de várias variáveis: se
e
com
, então
Aqui já mostramos que
tende a
e
tende a
. Portanto o limite pedido existe e vale
Para deixar a resposta numa forma mais “bonitinha”, racionalizamos o denominador:
Passo 5
Recapitulando de forma motivadora: o numerador tende para
porque
e
é contínua; o denominador tende para
, que é não-nulo; então o quociente tende para
. Você já conseguiu — ficou simples quando vimos que nada singular acontecia no denominador!