Usando a definição de limite, mostrar que
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{-8 x y^{2}}{3 y^{2}+3 x^{2}}=0

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, usando a definição de limite, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{-8xy^{2}}{3y^{2}+3x^{2}} = 0.
Informações dadas/importantes:
f(x,y)=\frac{-8xy^{2}}{3y^{2}+3x^{2}}
está definida para todos os pares (x,y) com (x,y)\neq(0,0) (pois no ponto (0,0) o denominador é zero). A tarefa é provar que, à medida que (x,y) se aproxima de (0,0) (por qualquer caminho), os valores de f(x,y) se aproximam de 0.

Passo 2

Definição de limite (aula rápida e simples): dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, temos |f(x,y)-0|<\varepsilon. Aqui:
  • \varepsilon é a precisão que queremos na saída (quão perto de 0 queremos que f(x,y) esteja);
  • \delta é a tolerância na entrada (quão perto de (0,0) devemos exigir que (x,y) esteja);
  • \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância euclidiana entre (x,y) e (0,0).
    O objetivo é, dado um \varepsilon>0, construir um \delta>0 que garanta |f(x,y)|<\varepsilon sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta.

Passo 3

Vamos analisar e estimar |f(x,y)| para (x,y)\neq(0,0).
Primeiro simplificamos o denominador:
3y^{2}+3x^{2}=3(x^{2}+y^{2}).
Portanto, em módulo,
\left|\frac{-8xy^{2}}{3y^{2}+3x^{2}}\right| = \frac{8|x|\,y^{2}}{3(x^{2}+y^{2})}.
Expliquei cada símbolo: |x| é o valor absoluto de x, y^{2} é o quadrado de y (sempre não negativo), e x^{2}+y^{2} é a soma dos quadrados (distância ao quadrado).

Passo 4

Agora fazemos desigualdades úteis que nos permitem ligar |f(x,y)| à distância \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Observação 1: para (x,y)\neq(0,0) temos 0\le y^{2}\le x^{2}+y^{2}, logo
\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1.
Usando isso na expressão de |f|,
|f(x,y)|=\frac{8|x|\,y^{2}}{3(x^{2}+y^{2})} \le \frac{8|x|}{3}.
Observação 2: também sabemos que |x|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}} (a coordenada em módulo nunca ultrapassa a norma). Substituindo:
|f(x,y)| \le \frac{8}{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Essa desigualdade é ótima porque relaciona diretamente |f(x,y)| com a distância de (x,y) a (0,0).

Passo 5

Montamos a prova ε–δ usando a desigualdade obtida. Seja um \varepsilon>0 dado. Tomemos
\delta = \frac{3}{8}\varepsilon.
Agora, se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então, pela desigualdade do passo anterior,
|f(x,y)| \le \frac{8}{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}} < \frac{8}{3}\delta = \frac{8}{3}\cdot\frac{3}{8}\varepsilon = \varepsilon.
Isso mostra exatamente que, para esse \delta, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta temos |f(x,y)-0|<\varepsilon. Assim a definição de limite é satisfeita e a conclusão segue.

Resposta

0

Exercícios relacionados