está definida para todos os pares (x,y) com (x,y)\neq(0,0) (pois no ponto (0,0) o denominador é zero). A tarefa é provar que, à medida que (x,y) se aproxima de (0,0) (por qualquer caminho), os valores de f(x,y) se aproximam de 0.
Passo 2
Definição de limite (aula rápida e simples): dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, temos |f(x,y)-0|<\varepsilon. Aqui:
\varepsilon é a precisão que queremos na saída (quão perto de 0 queremos que f(x,y) esteja);
\delta é a tolerância na entrada (quão perto de (0,0) devemos exigir que (x,y) esteja);
\sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância euclidiana entre (x,y) e (0,0).
O objetivo é, dado um \varepsilon>0, construir um \delta>0 que garanta |f(x,y)|<\varepsilon sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta.
Passo 3
Vamos analisar e estimar |f(x,y)| para (x,y)\neq(0,0).
Primeiro simplificamos o denominador:
Expliquei cada símbolo: |x| é o valor absoluto de x, y^{2} é o quadrado de y (sempre não negativo), e x^{2}+y^{2} é a soma dos quadrados (distância ao quadrado).
Passo 4
Agora fazemos desigualdades úteis que nos permitem ligar |f(x,y)| à distância \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Observação 1: para (x,y)\neq(0,0) temos 0\le y^{2}\le x^{2}+y^{2}, logo
Isso mostra exatamente que, para esse \delta, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta temos |f(x,y)-0|<\varepsilon. Assim a definição de limite é satisfeita e a conclusão segue.