Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{6 x^{2}+6 y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}-\sqrt{7}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{6x^{2}+6y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}-\sqrt{7}}.
Informações dadas que eu vou usar:
  • A expressão é uma função de duas variáveis x e y.
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Repare que tanto o numerador quanto o denominador envolvem x^{2}+y^{2}.
  • No próprio ponto (0,0) o denominador é \sqrt{7}-\sqrt{7}=0, então a expressão não está definida ali; estamos interessados apenas no comportamento quando (x,y) se aproxima de (0,0) (pontos distintos de (0,0)).

Passo 2

Estratégia e ideia matemática usada (explicando didaticamente):
  • Quando temos uma diferença do tipo \sqrt{A}-\sqrt{B} no denominador, uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador pela conjugada \sqrt{A}+\sqrt{B}. Isso usa a identidade algébrica
(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B}) = A - B,
que transforma a diferença de raízes em uma diferença simples (mais fácil de simplificar).
  • Vou aplicar essa técnica com A = x^{2}+y^{2}+7 e B=\;7.
  • Observação importante: essa multiplicação por um fator igual a 1 (conjugada sobre conjugada) é válida para todo ponto onde o denominador original não é zero; portanto para todo (x,y)\neq(0,0) podemos manipular algebricamente assim e depois tomar o limite.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador pela conjugada:
\frac{6x^{2}+6y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}-\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}+\sqrt{7}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}+\sqrt{7}} = \frac{(6x^{2}+6y^{2})\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}+\sqrt{7}\bigr)} {(\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}-\sqrt{7})\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}+\sqrt{7}\bigr)}.

Passo 4

Simplificando o denominador usando a identidade (\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B:
(\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}-\sqrt{7})(\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}+\sqrt{7}) = (x^{2}+y^{2}+7)-7 = x^{2}+y^{2}.
Portanto a expressão simplifica (para (x,y)\neq(0,0)) para
\frac{(6x^{2}+6y^{2})\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}+\sqrt{7}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Cancelar o fator x^{2}+y^{2}: como 6x^{2}+6y^{2}=6(x^{2}+y^{2}) e, para (x,y)\neq(0,0), temos x^{2}+y^{2}>0, podemos dividir numerador e denominador por x^{2}+y^{2}. Assim a expressão fica
6\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}+\sqrt{7}\bigr), \qquad\text{para }(x,y)\neq(0,0).
Agora temos uma função mais simples, contínua nas proximidades de (0,0) (pois \sqrt{\cdot} é contínua onde está definida).

Passo 6

Calcular o limite usando continuidade: quando (x,y)\to(0,0) temos x^{2}+y^{2}\to 0, então pela continuidade da função \sqrt{\cdot},
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \sqrt{x^{2}+y^{2}+7} = \sqrt{7}.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} 6\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+7}+\sqrt{7}\bigr) = 6\bigl(\sqrt{7}+\sqrt{7}\bigr).

Passo 7

Fazer a conta final:
6\bigl(\sqrt{7}+\sqrt{7}\bigr)=6\cdot 2\sqrt{7}=12\sqrt{7}.
Portanto o limite existe e vale 12\sqrt{7}. (Observação final: a simplificação mostrou que a expressão para (x,y)\neq(0,0) se aproxima de um valor único quando (x,y)\to(0,0), logo o limite é bem-definido.)

Resposta

12\sqrt{7}

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