Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas que eu vou usar:
- A expressão é uma função de duas variáveis
e . - O ponto de interesse é
. - Repare que tanto o numerador quanto o denominador envolvem
. - No próprio ponto
o denominador é , então a expressão não está definida ali; estamos interessados apenas no comportamento quando se aproxima de (pontos distintos de ).
Passo 2
Estratégia e ideia matemática usada (explicando didaticamente):
- Quando temos uma diferença do tipo
no denominador, uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador pela conjugada . Isso usa a identidade algébrica
que transforma a diferença de raízes em uma diferença simples (mais fácil de simplificar).
- Vou aplicar essa técnica com
e . - Observação importante: essa multiplicação por um fator igual a
(conjugada sobre conjugada) é válida para todo ponto onde o denominador original não é zero; portanto para todo podemos manipular algebricamente assim e depois tomar o limite.
Passo 3
Multiplicando numerador e denominador pela conjugada:
Passo 4
Simplificando o denominador usando a identidade
:
Portanto a expressão simplifica (para
) para
Passo 5
Cancelar o fator
: como
e, para
, temos
, podemos dividir numerador e denominador por
. Assim a expressão fica
Agora temos uma função mais simples, contínua nas proximidades de
(pois
é contínua onde está definida).
Passo 6
Calcular o limite usando continuidade: quando
temos
, então pela continuidade da função
,
Logo
Passo 7
Fazer a conta final:
Portanto o limite existe e vale
. (Observação final: a simplificação mostrou que a expressão para
se aproxima de um valor único quando
, logo o limite é bem-definido.)