Usando a definição de limite, mostrar que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição precisa de limite (epsilon–delta), que
Informações dadas que vamos usar:
e o ponto de interesse é
. Ou seja, precisamos provar que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, teremos
.
Passo 2
Escrevendo a condição que queremos satisfazer: dado
, devemos garantir
sempre que
Aqui
é a distância euclidiana entre
e
.
Passo 3
Reescrevemos a diferença que aparece no valor absoluto de forma mais conveniente:
Essa transformação só usa álgebra elementar: subtraímos
e somamos
embutidos em
, ficando
.
Passo 4
Aplicamos a desigualdade triangular (uma ferramenta básica): para quaisquer números reais
e
vale
. Usando isso com
e
temos
Explicando rapidinho: tiramos o fator positivo
e
para frente porque
e
.
Passo 5
Agora relacionamos
e
com a distância
. Pelo fato de que ambos os termos sob a raiz são não negativos, vale
Isto é óbvio: a raiz quadrada da soma de quadrados é maior ou igual a cada valor absoluto individual (porque somar um número não-negativo só aumenta a soma).
Passo 6
Combinando os passos 4 e 5 obtemos, colocando
,
Portanto, se conseguirmos garantir
com
escolhido de modo que
, teremos
.
Passo 7
Escolhemos
. Note que
quando
. Agora, sempre que
temos
e, pelo que mostramos no Passo 6,
Isso prova exatamente a condição da definição de limite: para todo
existe
tal que
implica
.
Passo 8
Concluímos, pela definição epsilon–delta de limite, que