Usando a definição de limite, mostrar que
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,-3)} 6 x-5 y=27.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição precisa de limite (epsilon–delta), que
\lim_{(x,y)\to(2,-3)} 6x-5y = 27.
Informações dadas que vamos usar:
f(x,y)=6x-5y
e o ponto de interesse é (2,-3). Ou seja, precisamos provar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\|(x,y)-(2,-3)\|<\delta, teremos |6x-5y-27|<\varepsilon.

Passo 2

Escrevendo a condição que queremos satisfazer: dado \varepsilon>0, devemos garantir
|6x-5y-27|<\varepsilon
sempre que
0<\sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2}<\delta.
Aqui \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2} é a distância euclidiana entre (x,y) e (2,-3).

Passo 3

Reescrevemos a diferença que aparece no valor absoluto de forma mais conveniente:
6x-5y-27 = 6(x-2)-5(y+3).
Essa transformação só usa álgebra elementar: subtraímos 12 e somamos 15 embutidos em 27, ficando 6x-12-5y-15.

Passo 4

Aplicamos a desigualdade triangular (uma ferramenta básica): para quaisquer números reais a e b vale |a+b|\le |a|+|b|. Usando isso com a=6(x-2) e b=-5(y+3) temos
|6x-5y-27| = |6(x-2)-5(y+3)| \le 6|x-2| + 5|y+3|.
Explicando rapidinho: tiramos o fator positivo 6 e 5 para frente porque |c\cdot t|=|c|\,|t| e 6,5>0.

Passo 5

Agora relacionamos |x-2| e |y+3| com a distância \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2}. Pelo fato de que ambos os termos sob a raiz são não negativos, vale
|x-2| \le \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2} \quad\text{e}\quad |y+3| \le \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2}.
Isto é óbvio: a raiz quadrada da soma de quadrados é maior ou igual a cada valor absoluto individual (porque somar um número não-negativo só aumenta a soma).

Passo 6

Combinando os passos 4 e 5 obtemos, colocando r=\sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2},
|6x-5y-27| \le 6|x-2| + 5|y+3| \le 6r + 5r = 11r.
Portanto, se conseguirmos garantir r<\delta com \delta escolhido de modo que 11\delta\le\varepsilon, teremos |6x-5y-27|<\varepsilon.

Passo 7

Escolhemos \delta = \dfrac{\varepsilon}{11}. Note que \delta>0 quando \varepsilon>0. Agora, sempre que
0<\sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2}<\delta,
temos r<\delta e, pelo que mostramos no Passo 6,
|6x-5y-27| \le 11r < 11\delta = 11\cdot \frac{\varepsilon}{11} = \varepsilon.
Isso prova exatamente a condição da definição de limite: para todo \varepsilon>0 existe \delta=\dfrac{\varepsilon}{11} tal que 0<\|(x,y)-(2,-3)\|<\delta implica |6x-5y-27|<\varepsilon.

Passo 8

Concluímos, pela definição epsilon–delta de limite, que
\lim_{(x,y)\to(2,-3)} 6x-5y = 27.

Resposta

27

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