Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \cos \left[\frac{4 y x^{6} \sqrt{y^{5}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite, se existir, da função
f(x,y)=\cos\!\left[\frac{4\,y\,x^{6}\sqrt{y^{5}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right]
quando (x,y)\to(0,0). Dados relevantes fornecidos:
  • A expressão dentro do cosseno é \dfrac{4\,y\,x^{6}\sqrt{y^{5}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Há uma raiz \sqrt{y^{5}}. Vou interpretar \sqrt{y^{5}} como a raiz quadrada principal de y^{5}, ou seja \sqrt{y^{5}}=|y|^{5/2} (essa é a forma real correta para todos os y reais).
  • O que se pede é o limite da composição \cos(\text{argumento}) quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Vamos reescrever e simplificar o argumento do cosseno. Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Usando \sqrt{y^{5}}=|y|^{5/2} temos
y\sqrt{y^{5}}=y\,|y|^{5/2}=\operatorname{sgn}(y)\,|y|^{7/2},
onde \operatorname{sgn}(y) é 1 se y>0, -1 se y<0, e 0 se y=0. Assim o argumento do cosseno fica
A(x,y)=\frac{4\,x^{6}\,\operatorname{sgn}(y)\,|y|^{7/2}}{r}.
O que nos interessa é o comportamento de A(x,y) quando r\to0.

Passo 3

Estimativa do valor absoluto de A(x,y). Primeiro observe que |\operatorname{sgn}(y)|\le1, então
|A(x,y)|=\frac{4\,|x|^{6}\,|y|^{7/2}}{r}.
Agora usamos as desigualdades elementares |x|\le r e |y|\le r. Portanto
|x|^{6}\le r^{6},\qquad |y|^{7/2}\le r^{7/2}.
Multiplicando e dividindo por r obtemos
|A(x,y)|\le\frac{4\,r^{6}\,r^{7/2}}{r}=4\,r^{6+7/2-1}=4\,r^{17/2}.

Passo 4

Conclusão sobre A(x,y). Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), temos r^{17/2}\to0. Pelo encadeamento da desigualdade
0\le |A(x,y)|\le 4\,r^{17/2},
o limite de |A(x,y)| é 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}A(x,y)=0.

Passo 5

Passagem ao cosseno usando continuidade. A função \cos(t) é contínua em todo t\in\mathbb{R}. Resultado clássico: se \lim_{(x,y)\to(0,0)}A(x,y)=0 então
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\cos\big(A(x,y)\big)=\cos\!\big(\lim_{(x,y)\to(0,0)}A(x,y)\big)=\cos(0)=1.
(Se quiser, dá para ver também por estimativa que |\cos(A)-1|\le \tfrac{A^{2}}{2} e como A\to0 o termo à direita vai para 0.)

Resposta

1

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