Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite, se existir, da função
quando
. Dados relevantes fornecidos:
- A expressão dentro do cosseno é
. - Há uma raiz
. Vou interpretar como a raiz quadrada principal de , ou seja (essa é a forma real correta para todos os reais). - O que se pede é o limite da composição
quando se aproxima de .
Passo 2
Vamos reescrever e simplificar o argumento do cosseno. Defina
Usando
temos
onde
é
se
,
se
, e
se
. Assim o argumento do cosseno fica
O que nos interessa é o comportamento de
quando
.
Passo 3
Estimativa do valor absoluto de
. Primeiro observe que
, então
Agora usamos as desigualdades elementares
e
. Portanto
Multiplicando e dividindo por
obtemos
Passo 4
Conclusão sobre
. Como
quando
, temos
. Pelo encadeamento da desigualdade
o limite de
é
. Logo
Passo 5
Passagem ao cosseno usando continuidade. A função
é contínua em todo
. Resultado clássico: se
então
(Se quiser, dá para ver também por estimativa que
e como
o termo à direita vai para
.)