Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\left(y^{2}-1\right) \operatorname{sen} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite, se existir, do seguinte quociente quando (x,y) tende a (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\left(y^{2}-1\right)\operatorname{sen} x}{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a ser analisada é \dfrac{(y^{2}-1)\operatorname{sen} x}{x}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
  • Observação importante: a expressão contém \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}, que não está definida quando x=0. Mesmo assim, o limite pode existir mesmo que a função não esteja definida em pontos com x=0; o limite considera apenas valores em pontos próximos a (0,0) com x\neq0.

Passo 2

Estratégia e ideia-chave (sem resolver ainda): a expressão é produto de dois fatores que dependem separadamente de x e de y:
  • A(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x} (depende só de x);
  • B(y)=y^{2}-1 (depende só de y).
Se conseguirmos mostrar que
\lim_{x\to0} A(x)=L_A\quad\text{e}\quad \lim_{y\to0} B(y)=L_B,
então, usando a propriedade de limites (produto de limites), teremos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} A(x)B(y)=L_A\cdot L_B.
Vou então calcular separadamente os limites de A(x) quando x\to0 e de B(y) quando y\to0.

Passo 3

Cálculo do limite de B(y)=y^{2}-1 quando y\to0.
Explicação didática: y^{2} é uma função contínua de y. Quando y\to0 tem-se y^{2}\to0. Subtrair 1 desloca o limite em 1. Portanto
\lim_{y\to0} (y^{2}-1) = 0-1 = -1.
Interpretação simples: à medida que y fica muito pequeno, y^{2} fica quase 0, então y^{2}-1 fica quase -1.

Passo 4

Cálculo do limite de A(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x} quando x\to0.
A propriedade básica que vamos usar é o limite conhecido de cálculo elementar:
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
(Em português \operatorname{sen} x é o mesmo que \sin x.)
Pequena justificativa didática (squeeze theorem): para x real com 0<|x|<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1.
Ambos os extremos têm limite 1 quando x\to0 (porque \lim_{x\to0}\cos x =1). Pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem), segue que
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Observação prática: essa é uma das limite-base que aparece sempre em provas; memorize: \dfrac{\sin x}{x}\to1 quando x\to0.

Passo 5

Combinação dos resultados e conclusão do limite de duas variáveis.
Já mostramos:
\lim_{y\to0} (y^{2}-1) = -1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1.
Quando (x,y)\to(0,0) temos simultaneamente x\to0 e y\to0. Assim A(x)\to1 e B(y)\to-1. Pela propriedade de limites (produto de limites) para funções de várias variáveis, o produto tende ao produto dos limites:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{(y^{2}-1)\sin x}{x} = \left(\lim_{y\to0}(y^{2}-1)\right)\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right) = (-1)\cdot 1 = -1.
Comentário sobre a indefinição em pontos com x=0: isso não impede o cálculo do limite. O limite usa valores com x arbitrariamente próximos de 0 (mas não necessariamente iguais a 0). Portanto o fato de a expressão não estar definida exatamente na linha x=0 não afeta a existência do limite.

Resposta

-1

Exercícios relacionados