Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite, se existir, do seguinte quociente quando
tende a
:
Informações relevantes fornecidas:
- A função a ser analisada é
. - O ponto de interesse é
. - Observação importante: a expressão contém
, que não está definida quando . Mesmo assim, o limite pode existir mesmo que a função não esteja definida em pontos com ; o limite considera apenas valores em pontos próximos a com .
Passo 2
Estratégia e ideia-chave (sem resolver ainda): a expressão é produto de dois fatores que dependem separadamente de
e de
:
-
(depende só de ); -
(depende só de ).
Se conseguirmos mostrar que
então, usando a propriedade de limites (produto de limites), teremos
Vou então calcular separadamente os limites de
quando
e de
quando
.
Passo 3
Cálculo do limite de
quando
.
Explicação didática:
é uma função contínua de
. Quando
tem-se
. Subtrair 1 desloca o limite em
. Portanto
Interpretação simples: à medida que
fica muito pequeno,
fica quase
, então
fica quase
.
Passo 4
Cálculo do limite de
quando
.
A propriedade básica que vamos usar é o limite conhecido de cálculo elementar:
(Em português
é o mesmo que
.)
Pequena justificativa didática (squeeze theorem): para
real com
vale a desigualdade
Ambos os extremos têm limite
quando
(porque
). Pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem), segue que
Observação prática: essa é uma das limite-base que aparece sempre em provas; memorize:
quando
.
Passo 5
Combinação dos resultados e conclusão do limite de duas variáveis.
Já mostramos:
Quando
temos simultaneamente
e
. Assim
e
. Pela propriedade de limites (produto de limites) para funções de várias variáveis, o produto tende ao produto dos limites:
Comentário sobre a indefinição em pontos com
: isso não impede o cálculo do limite. O limite usa valores com
arbitrariamente próximos de
(mas não necessariamente iguais a
). Portanto o fato de a expressão não estar definida exatamente na linha
não afeta a existência do limite.