S) Seja f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} função definida por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{rll} \frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) Verifique a continuidade de f;
(b) Mostre que \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} existe em todo \mathbb{R}^{2}, e verifique suas continuidade em (0,0);
(c) Conclua a difirenciabilidade de f em (0,0).

Passo 1

O enunciado fornece a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
f(x,y)=\left\{\begin{array}{rll} \dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se} & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se} & (x,y)=(0,0). \end{array}\right.
As perguntas são:
(a) Verificar a continuidade de f em \mathbb{R}^2 (em particular em (0,0)).
(b) Mostrar que \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} existem em todo \mathbb{R}^2 e verificar a continuidade dessas derivadas parciais em (0,0).
(c) Concluir se f é diferenciável em (0,0).
Informações relevantes dadas: a fórmula de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0. Não há outras restrições.]

Passo 2

Continuidade de f em pontos (x,y)\neq(0,0).
Explicação e raciocínio: Para (x,y)\neq(0,0) a expressão \dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo é função contínua nesses pontos (propriedade: polinômios são contínuos e razão de contínuas com denominador não nulo é contínua).
Conclusão do passo: f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Continuidade de f em (0,0).
Estratégia didática: para checar continuidade em (0,0) precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Uma maneira clara é usar coordenadas polares porque a expressão tem simetria em x^2+y^2.
Troca para polares: escrevendo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r\ge0, temos para (x,y)\neq(0,0)
f(x,y)=\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} = \frac{3 (r\cos\theta)^2 (r\sin\theta)}{r^2} = 3r\cos^2\theta\sin\theta.
Observação: a simplificação usou x^2+y^2=r^2, e cancelou um r^2.
Estimativa: para todo \theta tem |\cos^2\theta\sin\theta|\le 1, portanto
|f(x,y)| = |3r\cos^2\theta\sin\theta| \le 3r.
Como r=\sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que |f(x,y)|\to0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0).
Conclusão do passo: f é contínua em (0,0). Combinando com o Passo 2, f é contínua em toda \mathbb{R}^2.

Passo 4

Existência das derivadas parciais em (0,0) (definição pelo limite).
Lembrete: a derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},
e análogo para y.
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0):
  • Para y=0 e h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{3h^{2}\cdot 0}{h^{2}+0}=0.
  • Portanto
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0 \quad\text{para }h\neq0.
Logo o limite quando h\to0 é 0. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0):
  • Para x=0 e h\neq0 temos f(0,h)=\dfrac{3\cdot 0\cdot h}{0+h^{2}}=0.
  • Então
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0,
e o limite é 0. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Conclusão do passo: as derivadas parciais existem em (0,0) e valem 0.

Passo 5

Cálculo das derivadas parciais em (x,y)\neq(0,0) (regra do quociente) e explicação da regra.
Ferramenta: para uma função g(x,y)/h(x,y) com h\neq0, a derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{g}{h}\Big) =\frac{g_x\,h - g\,h_x}{h^2},
onde g_x e h_x são as derivadas parciais de g e h em x. É o análogo da regra do quociente em várias variáveis.
Aplicando aqui com g(x,y)=3x^2 y e h(x,y)=x^2+y^2:
  • g_x=6xy, h_x=2x.
  • Então para (x,y)\neq(0,0)
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{(6xy)(x^2+y^2) - (3x^2 y)(2x)}{(x^2+y^2)^2}.
Agora simplificar o numerador:
(6xy)(x^2+y^2) - (3x^2 y)(2x) =6x^3 y + 6 x y^3 - 6 x^3 y = 6 x y^3.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{6x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}
Agora para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • g_y=3x^2, h_y=2y.
  • Pelo quociente,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{(3x^2)(x^2+y^2) - (3x^2 y)(2y)}{(x^2+y^2)^2}.
Simplificando o numerador:
3x^2(x^2+y^2) - 6 x^2 y^2 = 3x^4 + 3x^2 y^2 - 6 x^2 y^2 = 3 x^2 (x^2 - y^2).
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{3x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}
Conclusão do passo: encontrou-se fórmulas explícitas para as derivadas parciais em todos os pontos fora da origem, e no Passo 4 já foram obtidos seus valores em (0,0) (ambos zero). Assim as derivadas parciais existem em toda \mathbb{R}^2.

Passo 6

Verificação da continuidade das derivadas parciais em (0,0).
Objetivo didático: verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Usar coordenadas polares novamente para estudar limites. Escrever x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
Para \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{6x y^3}{(x^2+y^2)^2}:
  • Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x}(r,\theta) = \frac{6 (r\cos\theta)(r\sin\theta)^3}{(r^2)^2} = \frac{6 r^4 \cos\theta \sin^3\theta}{r^4} = 6\cos\theta\sin^3\theta.
Observação importante: o resultado não depende de r; depende apenas do ângulo \theta. Portanto quando r\to0 o valor da derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) tende para um valor que depende de \theta. Em particular, por exemplo:
  • Se \theta=0 (eixo x), \cos\theta=1, \sin\theta=0, então o valor é 0.
  • Se \theta=\pi/4 (reta y=x), \cos\theta=\sin\theta=1/\sqrt{2}, então o valor é
6\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\Big(\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)^3 =6\cdot\frac{1}{4}= \frac{3}{2}.
Como limites por direções diferentes dão números diferentes, \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) não tem limite único quando (x,y)\to(0,0). Portanto \dfrac{\partial f}{\partial x} é descontínua em (0,0) (apesar de existir em (0,0) e valer 0 lá).
Para \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{3x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}:
  • Em polares,
\frac{\partial f}{\partial y}(r,\theta) = \frac{3 (r\cos\theta)^2\big((r\cos\theta)^2-(r\sin\theta)^2\big)}{r^4} = 3\cos^2\theta\big(\cos^2\theta-\sin^2\theta\big).
Novamente o resultado não depende de r, só de \theta. Portanto a derivada parcial também assume valores angulares distintos ao aproximar a origem por direções diferentes. Exemplo:
  • Para \theta=0 temos 3\cdot1^2(1-0)=3.
  • Para \theta=\pi/2 temos 3\cdot0^2(\dots)=0.
  • Para \theta=\pi/4 (reta y=x) temos \cos^2\theta=1/2, \cos^2\theta-\sin^2\theta=0, então o valor é 0.
Como há dependência angular, o limite não existe como um único número; portanto \dfrac{\partial f}{\partial y} também é descontínua em (0,0) (embora exista lá e valha 0).
Conclusão do passo: ambas as derivadas parciais existem em toda \mathbb{R}^2, mas nenhuma é contínua em (0,0).

Passo 7

Conclusão sobre a diferenciabilidade de f em (0,0).
Recordando a definição: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L(x,y)=ax+by tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0.
Se as derivadas parciais existem em (0,0), o candidato natural é L(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)x+\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)y. Pelos Passos 4 e 6, temos \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, então L\equiv0. Assim f é diferenciável em (0,0) só se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0.
Avaliar esse limite em polares: já vimos que para (x,y)\neq(0,0)
f(x,y)=3r\cos^2\theta\sin\theta.
Portanto
\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{3r\cos^2\theta\sin\theta}{r} = 3\cos^2\theta\sin\theta.
Esse valor depende de \theta e, em geral, não é 0. Por exemplo, aproximando pela linha y=x ( \theta=\pi/4) obtemos
\frac{f(x,x)}{\sqrt{2x^2}} \to 3\cos^2\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)\sin\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big) =3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\neq0.
Assim o limite acima não é zero (nem sequer existe unicamente), logo a condição de diferenciabilidade falha.
Conclusão do passo: f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) f é contínua em toda \mathbb{R}^2 (em particular em (0,0)).
(b) As derivadas parciais existem em todo \mathbb{R}^2. Para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{6x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{3x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
e em (0,0) temos \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0, \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0. As duas derivadas parciais são descontínuas em (0,0).
(c) f não é diferenciável em (0,0).

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