(a) Verifique a continuidade de f;
(b) Mostre que \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} existe em todo \mathbb{R}^{2}, e verifique suas continuidade em (0,0);
(c) Conclua a difirenciabilidade de f em (0,0).
Passo 1
O enunciado fornece a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
As perguntas são:
(a) Verificar a continuidade de f em \mathbb{R}^2 (em particular em (0,0)).
(b) Mostrar que \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} existem em todo \mathbb{R}^2 e verificar a continuidade dessas derivadas parciais em (0,0).
(c) Concluir se f é diferenciável em (0,0).
Informações relevantes dadas: a fórmula de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0. Não há outras restrições.]
Passo 2
Continuidade de f em pontos (x,y)\neq(0,0).
Explicação e raciocínio: Para (x,y)\neq(0,0) a expressão \dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo é função contínua nesses pontos (propriedade: polinômios são contínuos e razão de contínuas com denominador não nulo é contínua).
Conclusão do passo: f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Passo 3
Continuidade de f em (0,0).
Estratégia didática: para checar continuidade em (0,0) precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Uma maneira clara é usar coordenadas polares porque a expressão tem simetria em x^2+y^2.
Troca para polares: escrevendo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r\ge0, temos para (x,y)\neq(0,0)
Conclusão do passo: encontrou-se fórmulas explícitas para as derivadas parciais em todos os pontos fora da origem, e no Passo 4 já foram obtidos seus valores em (0,0) (ambos zero). Assim as derivadas parciais existem em toda \mathbb{R}^2.
Passo 6
Verificação da continuidade das derivadas parciais em (0,0).
Observação importante: o resultado não depende de r; depende apenas do ângulo \theta. Portanto quando r\to0 o valor da derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) tende para um valor que depende de \theta. Em particular, por exemplo:
Se \theta=0 (eixo x), \cos\theta=1, \sin\theta=0, então o valor é 0.
Se \theta=\pi/4 (reta y=x), \cos\theta=\sin\theta=1/\sqrt{2}, então o valor é
Como limites por direções diferentes dão números diferentes, \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) não tem limite único quando (x,y)\to(0,0). Portanto \dfrac{\partial f}{\partial x} é descontínua em (0,0) (apesar de existir em (0,0) e valer 0 lá).
Para \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{3x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}:
Novamente o resultado não depende de r, só de \theta. Portanto a derivada parcial também assume valores angulares distintos ao aproximar a origem por direções diferentes. Exemplo:
Para \theta=0 temos 3\cdot1^2(1-0)=3.
Para \theta=\pi/2 temos 3\cdot0^2(\dots)=0.
Para \theta=\pi/4 (reta y=x) temos \cos^2\theta=1/2, \cos^2\theta-\sin^2\theta=0, então o valor é 0.
Como há dependência angular, o limite não existe como um único número; portanto \dfrac{\partial f}{\partial y} também é descontínua em (0,0) (embora exista lá e valha 0).
Conclusão do passo: ambas as derivadas parciais existem em toda \mathbb{R}^2, mas nenhuma é contínua em (0,0).
Passo 7
Conclusão sobre a diferenciabilidade de f em (0,0).
Recordando a definição: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L(x,y)=ax+by tal que
Se as derivadas parciais existem em (0,0), o candidato natural é L(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)x+\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)y. Pelos Passos 4 e 6, temos \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, então L\equiv0. Assim f é diferenciável em (0,0) só se
e em (0,0) temos \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0, \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0. As duas derivadas parciais são descontínuas em (0,0).
(c) f não é diferenciável em (0,0).