Dados A, B \subset \mathbb{R} conjuntos limitados de números reais positivos. Seja
A \cdot B=\{x \cdot y \mid x \in A, y \in B\}
Prove que: \sup (A \cdot B)=\sup A \cdot \sup B ;
Passo 1
O enunciado dá:
A e B são subconjuntos de \mathbb{R}, ambos limitados e com elementos positivos (isto é, \forall a\in A,\; a>0 e \forall b\in B,\; b>0).
Define-se A\cdot B=\{x\cdot y \mid x\in A,\; y\in B\}.
O que se pede provar:
Que \sup (A\cdot B)=\sup A\cdot \sup B.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A e B são limitados, portanto \sup A e \sup B existem e são números reais finitos.
Todos os elementos de A e B são positivos (isso evita problemas com sinais ao multiplicar e garante desigualdades diretas).
Passo 2
Lembrando a definição e uma propriedade útil do supremo:
\sup A é o menor limite superior de A: isto é, (i) \forall a\in A,\; a\le \sup A e (ii) para todo \varepsilon>0 existe a\in A tal que a> \sup A-\varepsilon.
Mesma coisa para \sup B.
Essa segunda propriedade diz que existem elementos de A e de B arbitrariamente próximos de seus supremos.
Vou usar essa propriedade para construir aproximações que mostram que \sup(A\cdot B) não pode ser estritamente menor nem estritamente maior que \sup A\cdot \sup B.
Passo 3
Prova da desigualdade \sup(A\cdot B)\le \sup A\cdot \sup B.
Tomemos qualquer x\in A e y\in B. Pela definição de supremo temos x\le \sup A e y\le \sup B. Como todos os números envolvidos são não negativos, multiplicando as desigualdades obtemos
x\cdot y \le \sup A\cdot \sup B.
Isso vale para todo produto x\cdot y\in A\cdot B. Logo \sup A\cdot \sup B é um majorante de A\cdot B. Portanto, por definição do supremo de A\cdot B,
\sup(A\cdot B)\le \sup A\cdot \sup B.
Passo 4
Prova da desigualdade \sup(A\cdot B)\ge \sup A\cdot \sup B.
A ideia é mostrar que existem produtos a\cdot b\in A\cdot B arbitrariamente próximos de \sup A\cdot \sup B. Para isso construímos sequências (a_n)\subset A e (b_n)\subset B que aproximam os supremos.
Pela propriedade do supremo, para cada n\in\mathbb{N} existe a_n\in A com
Isto tende a 0 quando n\to\infty. Portanto a_n b_n \to \sup A\cdot \sup B.
Passo 6
Conclusão a partir da aproximação.
Como a_n b_n\in A\cdot B para todo n e a_n b_n \to \sup A\cdot \sup B, segue que para todo \varepsilon>0 existe algum produto a_n b_n\in A\cdot B com
a_n b_n > \sup A\cdot \sup B - \varepsilon.
Isto significa que \sup A\cdot \sup B é um ínfimo dos majorantes de A\cdot B no sentido de que não existe majorante estritamente menor que \sup A\cdot \sup B. Em outras palavras,
\sup(A\cdot B)\ge \sup A\cdot \sup B.
Passo 7
Combinação das duas desigualdades.
Dos Passos 3 e 6 temos simultaneamente
\sup(A\cdot B)\le \sup A\cdot \sup B \qquad\text{e}\qquad \sup(A\cdot B)\ge \sup A\cdot \sup B.