Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(5,-2)}\left(x^{2}+4 x^{3} y-5 x y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor de \displaystyle \lim_{(x,y)\to(5,-2)}\bigl(x^{2}+4x^{3}y-5xy^{2}\bigr).
Este é um limite de função de duas variáveis, mas a expressão é um polinômio em x e y.

Passo 2

Como polinômios em x e y são contínuos em toda parte, o limite existe e vale simplesmente o valor da função no ponto (5,-2):
\lim_{(x,y)\to(5,-2)}\bigl(x^{2}+4x^{3}y-5xy^{2}\bigr) =\bigl(5^{2}+4\cdot5^{3}\cdot(-2)-5\cdot5\cdot(-2)^{2}\bigr).

Passo 3

Agora calculamos cada termo:
5^{2}=25,\quad 4\cdot5^{3}=4\cdot125=500\quad\Longrightarrow\quad500\cdot(-2)=-1000,
(-2)^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad -5\cdot5\cdot4=-100.
Somando tudo: 25-1000-100=-1075.

Resposta

-1075

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