Resolva a seguinte equação diferencial
y(x+1) d x+x(y+1) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial
y(x+1)\,dx + x(y+1)\,dy = 0
e pede a sua solução geral. Este é um caso em que não é exata de pronto, mas podemos observar que dividindo por xy obtemos uma forma separável em x e y.

Passo 2

Dividindo ambos os lados de
y(x+1)\,dx + x(y+1)\,dy = 0
por xy (supondo x\neq0 e y\neq0) fica
\frac{y(x+1)}{xy}\,dx + \frac{x(y+1)}{xy}\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x+1}{x}\,dx + \frac{y+1}{y}\,dy = 0.

Passo 3

Agora integramos separadamente em x e em y:
\int \frac{x+1}{x}\,dx + \int \frac{y+1}{y}\,dy = C,
onde C é constante de integração. Cada integral se decompõe em
\int \frac{x+1}{x}\,dx = \int\Bigl(1 + \frac1x\Bigr)\,dx = x + \ln\bigl|x\bigr|
e
\int \frac{y+1}{y}\,dy = \int\Bigl(1 + \frac1y\Bigr)\,dy = y + \ln\bigl|y\bigr|.

Passo 4

Somando os resultados obtemos a solução implícita
x + \ln\bigl|x\bigr| + y + \ln\bigl|y\bigr| = C,
ou, agrupando os logaritmos,
x + y + \ln\bigl|x\,y\bigr| = C.

Resposta

x + y + \ln\bigl|x\,y\bigr| = C.

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