Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
Esse é um limite de função de duas variáveis. Para existir, o resultado tem de ser o mesmo em todo caminho que leve
a
.
Passo 2
A estratégia é escolher caminhos simples que levem
a
e ver se o limite ao longo deles coincide. Se encontrarmos dois caminhos com limites diferentes, concluímos que o limite geral não existe.
Passo 3
Considere o caminho
. Substituindo em
temos
Logo
Passo 4
Agora considere o caminho
. Substituindo em
temos
E sabemos que
Passo 5
Como ao longo de
o limite vale
e ao longo de
vale
, esses valores são diferentes. Portanto o limite não pode existir.
Resposta
O limite não existe.