Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+\sin y}{2 x^{2}+y}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+\sin y}{2x^{2}+y}
Esse é um limite de função de duas variáveis. Para existir, o resultado tem de ser o mesmo em todo caminho que leve (x,y) a (0,0).

Passo 2

A estratégia é escolher caminhos simples que levem (x,y) a (0,0) e ver se o limite ao longo deles coincide. Se encontrarmos dois caminhos com limites diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Passo 3

Considere o caminho y=0. Substituindo em
\frac{x^{2}+\sin y}{2x^{2}+y}
temos
\frac{x^{2}+\sin 0}{2x^{2}+0} =\frac{x^{2}}{2x^{2}} =\frac12.
Logo
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+\sin(0)}{2x^{2}+0}=\frac12.

Passo 4

Agora considere o caminho x=0. Substituindo em
\frac{x^{2}+\sin y}{2x^{2}+y}
temos
\frac{0+\sin y}{0+y} =\frac{\sin y}{y}.
E sabemos que
\lim_{y\to0}\frac{\sin y}{y}=1.

Passo 5

Como ao longo de y=0 o limite vale \tfrac12 e ao longo de x=0 vale 1, esses valores são diferentes. Portanto o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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