Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim substackx 0 y 0 x^3-y^3x-y

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite em duas variáveis lim(x,y)to(0,0)x^3-y^3x-y. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e fatoração de diferença de cubos. Vamos precisar usar a identidade x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).

Passo 2

Observando o numerador como diferença de cubos, aplicamos a fatoração. Para xneq y temos
x^3-y^3x-y=(x-y)(x^2+xy+y^2)x-y=x^2+xy+y^2
Essa simplificação é válida em todo ponto distinto de x=y.

Passo 3

Agora que a expressão virou x^2+xy+y^2, usamos que polinômios são funções contínuas. Logo, ao levar (x,y)to(0,0), cada termo vai a zero:
lim(x,y)to(0,0)(x^2+xy+y^2)=0+0+0=0

Passo 4

Concluímos que o limite original existe e, após a simplificação, vale 0.

Resposta

0

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