Resolva o PVI dada pela EDO separável,
, com a condição inicial,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo separável:
. A condição inicial é
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de EDOs separáveis para resolver o problema. Vamos precisar separar as variáveis
e
para integrar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Isso facilita a separação das variáveis.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Assim, conseguimos separar as variáveis.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Então, juntando as integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -2:
Para simplificar, podemos chamar
de uma nova constante
:
Então, isolamos
:
E finalmente, tiramos a raiz quadrada:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
:
Calculando
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resposta
Substituindo
na expressão de
, temos a solução do PVI: