Resolva o PVI dada pela EDO separável, y^prime+y^3 sen(x)=0, com a condição inicial, y(pi / 4)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo separável: . A condição inicial é . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de EDOs separáveis para resolver o problema. Vamos precisar separar as variáveis e para integrar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar y' = -y^3 sin(x) :
Isso facilita a separação das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis dyy^3 = -sin(x) , dx e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Assim, conseguimos separar as variáveis.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo:
integral dyy^3 = integral y^-3 , dy = y^-2-2 + C1 = -12y^2 + C1
Agora, o lado direito:
integral -sin(x) , dx = cos(x) + C2
Então, juntando as integrais:
-12y^2 = cos(x) + C
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para 1y^2 = -2cos(x) - 2C . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -2:
1y^2 = -2cos(x) + K
Para simplificar, podemos chamar y^2 = 1-2cos(x) + K de uma nova constante y = raiz1-2cos(x) + K = 1raiz-2cos(x) + K :
Então, isolamos :
E finalmente, tiramos a raiz quadrada:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante 1 = 1raiz-2cos(pi4) + K . Sabemos que quando 1 = 1raiz-2 cdot raiz22 + K Rightarrow 1 = 1raiz-raiz2 + K , 1 = 1- raiz2 + K Rightarrow -raiz2 + K = 1 Rightarrow K = 1 + raiz2 :
Calculando :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Resposta

Substituindo y(x) = 1raiz-2cos(x) + 1 + raiz2 na expressão de , temos a solução do PVI:

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