Encontre, sobre a curva
, o ponto mais próximo do ponto (
). Calcule essa distância e faça o gráfico correspondente.
Passo 1
A questão pede o ponto da hipérbole
que fica mais próximo de
. Vamos usar otimização com multiplicadores de Lagrange para achar esse ponto e depois calcular a distância. Para desenhar, basta esboçar a hipérbole e marcar
e o(s) ponto(s) encontrado(s).
Passo 2
Definimos a função que queremos minimizar como a distância ao quadrado de um ponto genérico
na hipérbole até
:
A condição da hipérbole é dada por
Para otimizar sob essa restrição, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 3
Calculamos os gradientes e igualamos:
$$
abla f = (2x, ,2(y+1)),
$$
$$
abla g = (2x,,-2y).
2x = \lambda,2x, \quad 2(y+1) = \lambda(-2y), \quad x^2 - y^2 = 1.
$$
Da primeira equação, ou (impossível na hipérbole) ou
.
Da primeira equação, ou
Passo 4
Com
na segunda equação:
Substituindo em
:
Passo 5
Os pontos mais próximos de
são
A menor distância é
Passo 6
Para o gráfico, esboce a hipérbole de equação
, marque o ponto
e destaque os dois pontos
onde a distância até
é mínima.
Resposta
Os pontos de mínima distância são
e a distância mínima vale
.