Encontre, sobre a curva x^2-y^2=1, o ponto mais próximo do ponto ( 0,-1 ). Calcule essa distância e faça o gráfico correspondente.

Passo 1

A questão pede o ponto da hipérbole x^2 - y^2 = 1 que fica mais próximo de P=(0,-1). Vamos usar otimização com multiplicadores de Lagrange para achar esse ponto e depois calcular a distância. Para desenhar, basta esboçar a hipérbole e marcar P e o(s) ponto(s) encontrado(s).

Passo 2

Definimos a função que queremos minimizar como a distância ao quadrado de um ponto genérico (x,y) na hipérbole até P=(0,-1):
f(x,y) = (x-0)^2 + (y+1)^2 = x^2 + (y+1)^2
A condição da hipérbole é dada por
g(x,y) = x^2 - y^2 - 1 = 0
Para otimizar sob essa restrição, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 3

Calculamos os gradientes e igualamos:
$$
abla f = (2x, ,2(y+1)),
$$
$$
abla g = (2x,,-2y).
abla f = (2x, ,2(y+1)), é
2x = \lambda,2x, \quad 2(y+1) = \lambda(-2y), \quad x^2 - y^2 = 1.
$$
Da primeira equação, ou abla g = (2x,,-2y) (impossível na hipérbole) ou 2x = lambda,2x, 2(y+1) = lambda(-2y), x^2 - y^2 = 1 .

Passo 4

Com lambda=1 na segunda equação:
2(y+1) = -2y Longrightarrow 2y + 2 = -2y Longrightarrow 4y = -2 Longrightarrow y = -tfrac12
Substituindo em x^2 - y^2 =1:
x^2 - l(-tfrac12r)^2 = 1 Longrightarrow x^2 - tfrac14 = 1 Longrightarrow x^2 = tfrac54 Longrightarrow x = pmtfracraiz52

Passo 5

Os pontos mais próximos de P são
l(tfracraiz52, -tfrac12r) e l(-tfracraiz52, -tfrac12r)
A menor distância é
d = raizx^2 + (y+1)^2 = raiztfrac54 + l(-tfrac12 +1r)^2 = raiztfrac54 + tfrac14 = raiztfrac32

Passo 6

Para o gráfico, esboce a hipérbole de equação x^2 - y^2 =1, marque o ponto P=(0,-1) e destaque os dois pontos l(pmtfracraiz52,-tfrac12r) onde a distância até P é mínima.

Resposta

Os pontos de mínima distância são l(pmtfracraiz52, -tfrac12r) e a distância mínima vale raiztfrac32.

Exercícios relacionados