Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o limite da função quando os pontos se aproximam de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites de funções de duas variáveis, avaliando como a função se comporta ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos.
Passo 2
Vamos começar avaliando o limite ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Então, ao longo do eixo , o limite é .
Passo 3
Agora, vamos avaliar o limite ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Então, ao longo do eixo , o limite também é .
Passo 4
Para verificar se o limite é realmente , precisamos garantir que, independentemente do caminho que segue para se aproximar de , o limite da função seja o mesmo. Vamos considerar um caminho linear , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Para próximo de , podemos usar as aproximações e . Substituindo essas aproximações:
Como , . Portanto, ao longo deste caminho, o limite também é .
Passo 5
Para confirmar ainda mais que o limite é , podemos estimar a função em termos de sua magnitude. Sabemos que , e . Para próximo de , , que é positivo.
Isso implica que:
Como (x, y) to (0,0), tanto x quanto y tendem a 0, fazendo com que |x y|1 - y^2 to 0. Assim, pela desigualdade, o limite da função também tende a 0.