Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) sin (x y)e^x-y^2;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o limite da função sin(x y)e^x - y^2 quando os pontos (x, y) se aproximam de (0,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites de funções de duas variáveis, avaliando como a função se comporta ao se aproximar do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Vamos começar avaliando o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y = 0 na função, temos:
sin(x cdot 0)e^x - 0^2 = sin(0)e^x = 0e^x = 0
Então, ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos avaliar o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo x = 0 na função, temos:
sin(0 cdot y)e^0 - y^2 = sin(0)1 - y^2 = 01 - y^2 = 0
Então, ao longo do eixo y, o limite também é 0.

Passo 4

Para verificar se o limite é realmente 0, precisamos garantir que, independentemente do caminho que (x, y) segue para se aproximar de (0,0), o limite da função seja o mesmo. Vamos considerar um caminho linear y = kx, onde k é uma constante.
Substituindo y = kx na função:
sin(x cdot kx)e^x - (kx)^2 = sin(kx^2)e^x - k^2x^2
Para x próximo de 0, podemos usar as aproximações sin(kx^2) approx kx^2 e e^x approx 1 + x. Substituindo essas aproximações:
kx^21 + x - k^2x^2 approx kx^21 = kx^2
Como x to 0, kx^2 to 0. Portanto, ao longo deste caminho, o limite também é 0.

Passo 5

Para confirmar ainda mais que o limite é 0, podemos estimar a função em termos de sua magnitude. Sabemos que |sin(x y)| <= |x y|, e e^x >= 1 + x. Para (x, y) próximo de (0,0), e^x - y^2 >= 1 - y^2, que é positivo.
Isso implica que:
| sin(x y)e^x - y^2 | <= |x y|1 - y^2
Como (x, y) to (0,0), tanto x quanto y tendem a 0, fazendo com que |x y|1 - y^2 to 0. Assim, pela desigualdade, o limite da função também tende a 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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