Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule d zd t e d wd t : z=tg(xy), x=t, y=e^t

Passo 1

O enunciado dá z=f(x,y) com z=, x=t e y=e^t, e em seguida w=f(x,y,z). O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis: primeiro para z em função de t via x(t),y(t) e depois para w em função de t via x(t),y(t),z(t).

Passo 2

Para achar dzdt, usamos a fórmula da regra da cadeia em duas variáveis:
dzdt=partial zpartial x,dxdt+partial zpartial y,dydt
Aqui com z=tg(u), então
u=tfracxy
Também partial zpartial x=sec^2l(tfracxyr)cdot1y, partial zpartial y=sec^2l(tfracxyr)cdotl(-xy^2r) e dxdt=1. Substituindo:
dydt=e^t

Passo 3

Agora colocamos x=t e y=e^t na expressão dentro do parêntese:
1y-xy^2e^t=1e^t-te^2te^t= e^-t-t,e^-t=(1-t)e^-t
Logo
dzdt=sec^2l(tfracte^tr),(1-t)e^-t

Passo 4

Para dwdt, aplicamos a regra da cadeia para w(x,y,z):
dwdt=partial wpartial x,dxdt+partial wpartial y,dydt+partial wpartial z,dzdt
Já sabemos dxdt=1, dydt=e^t e dzdt=sec^2l(tfracte^tr)(1-t)e^-t, então
dwdt=wxcdot1 + wycdot e^t + wzcdotsec^2l(tfracte^tr)(1-t)e^-t

Resposta

dzdt=sec^2l(tfracte^tr),(1-t)e^-t,[6pt]dwdt=wx +wy,e^t +wz,sec^2l(tfracte^tr)(1-t)e^-t

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