Usando a regra da cadeia para
e
, calcule:
:
Passo 1
O enunciado pede para usar a regra da cadeia em duas etapas: primeiro para z=f(x,y) com z=√(1+x²+y²) e x=s eᵗ, y=s e^(–t), calculando ∂z/∂t e ∂z/∂s; depois para w=f(x,y,z), obtendo ∂w/∂t, ∂w/∂s e ∂w/∂r.
Passo 2
Calculamos primeiro as derivadas paramétricas de x e y:
• ⇒
• ⇒
•
•
Passo 3
A função z=√(1+x²+y²) tem derivadas parciais:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para z em relação a t e s:
Passo 5
Para w=f(x,y,z) aplicamos a regra da cadeia geral:
Passo 6
Substituindo as derivadas parciais e z_u obtidas: