Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+\sin ^{2} y}{2 x^{2}+y^{2}}\\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+\sin^{2}y}{2x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis. Para verificar existência, vamos aproximar por diferentes trajetórias.

Passo 2

Considere a trajetória y=0. Então \sin y=0 e
\frac{x^{2}+\sin^{2}y}{2x^{2}+y^{2}} =\frac{x^{2}+0}{2x^{2}+0} =\frac{x^{2}}{2x^{2}} =\frac12.
Logo, ao longo de y=0 o limite vale \tfrac12.

Passo 3

Considere a trajetória x=0. Então
\frac{x^{2}+\sin^{2}y}{2x^{2}+y^{2}} =\frac{0+\sin^{2}y}{0+y^{2}} =\frac{\sin^{2}y}{y^{2}} =\Bigl(\frac{\sin y}{y}\Bigr)^{2} \;\xrightarrow[y\to0]{}\;1.
Logo, ao longo de x=0 o limite vale 1.

Passo 4

Obtemos \tfrac12 por uma trajetória e 1 por outra. Como os valores não coincidem, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados