Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ k, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right., onde k é uma constante.
(a) f é uma função contínua para (x, y) \neq(0,0) ? Justifique.
(b) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y).
(c) Para qual valor de k a função f é contínua em todo o \mathbb{R}^{2} ? Justifique.
e pede para verificar continuidade fora da origem, calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) e achar k que torna f contínua em \mathbb{R}^2.
O conteúdo da matéria envolve continuidade de funções de duas variáveis e cálculo de limite usando estimativas ou coordenadas polares.
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) temos f(x,y)=\dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, que é quociente de polinômios. Como x^{2}+y^{2}\neq0 fora da origem, numerador e denominador são contínuos e o denominador não se anula. Portanto, pela propriedade de continuidade de quociente, f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Passo 3
Para calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y), usamos coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta). Então
Como |\cos^{2}\theta\sin\theta|\le1, fica \bigl|f(r,\theta)\bigr|\le3r. Quando r\to0, 3r\to0, logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Passo 4
Para que f seja contínua em (0,0), o valor atribuído k=f(0,0) deve coincidir com o limite no ponto. Como esse limite vale 0, é necessário k=0.
Resposta
(a) Sim. Para (x,y)\neq(0,0), f é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo contínua.
(b) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
(c) k=0.