(1) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,0)} \frac{(x-2) y^{2}}{(x-2)^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{(x-2)\,y^{2}}{(x-2)^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(2,0).
O conteúdo aqui é cálculo de limite em várias variáveis, e uma estratégia eficaz é usar coordenadas polares centradas em (2,0).

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
u = x-2,\quad v = y,
de modo que o ponto (x,y)\to(2,0) vira (u,v)\to(0,0).
Então podemos reescrever
f(x,y)=\frac{u\,v^{2}}{u^{2}+v^{2}}.

Passo 3

Passamos para coordenadas polares em (u,v):
u = r\cos\theta,\quad v = r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta é o ângulo.
Substituindo em f, obtemos
f = \frac{(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2}}{(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}} = \frac{r^{3}\cos\theta\,\sin^{2}\theta}{r^{2}} = r\cos\theta\,\sin^{2}\theta.

Passo 4

À medida que (x,y)\to(2,0) temos r\to0. Note que \cos\theta\,\sin^{2}\theta é limitado em valor absoluto por 1, logo
\bigl|r\cos\theta\,\sin^{2}\theta\bigr|\le r\;\xrightarrow{r\to0}0.
Isso mostra que f(x,y)\to0 independentemente de \theta.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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