(1) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
quando
.
O conteúdo aqui é cálculo de limite em várias variáveis, e uma estratégia eficaz é usar coordenadas polares centradas em .
O conteúdo aqui é cálculo de limite em várias variáveis, e uma estratégia eficaz é usar coordenadas polares centradas em
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis
de modo que o ponto
vira
.
Então podemos reescrever
Então podemos reescrever
Passo 3
Passamos para coordenadas polares em
:
onde
e
é o ângulo.
Substituindo em , obtemos
Substituindo em
Passo 4
À medida que
temos
. Note que
é limitado em valor absoluto por 1, logo
Isso mostra que
independentemente de
.
Resposta
O limite existe e vale