6- Utilizando a equaçãões de trabalho, força e Torricelli; prove que \mathrm{W}=\Delta \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o teorema do trabalho–energia, ou seja, provar que o trabalho W realizado por uma força constante sobre uma massa m que se desloca de x_{0} a x é igual à variação da energia cinética \Delta K. Vamos usar as definições de trabalho, a relação entre força e aceleração e a equação de Torricelli (ou equação de “velocidade em função do espaço”).

Passo 2

O trabalho realizado por uma força unidimensional F(x) ao deslocar o ponto de x_{0} até x é definido por
W = \int_{x_{0}}^{x} F(x)\,dx.

Passo 3

Para força constante e massa m submetida à aceleração a, vale a segunda lei de Newton F = m\,a. Substituindo em W, obtemos
W = \int_{x_{0}}^{x} m\,a\,dx = m\,a \int_{x_{0}}^{x} dx = m\,a\,(x - x_{0}).

Passo 4

A equação de Torricelli relaciona a velocidade final v, a velocidade inicial v_{0}, a aceleração a e o deslocamento \Delta x = x - x_{0}:
v^{2} = v_{0}^{2} + 2\,a\,(x - x_{0}).
Dessa relação isolamos a\,(x - x_{0}):
a\,(x - x_{0}) = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2}.

Passo 5

Voltando ao trabalho
W = m\,\bigl[a\,(x - x_{0})\bigr] = m \,\frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2} = \frac{1}{2}m\,v^{2} - \frac{1}{2}m\,v_{0}^{2}.
Reconhecemos que \tfrac{1}{2}m\,v^{2} é a energia cinética final K e \tfrac{1}{2}m\,v_{0}^{2} é a energia cinética inicial K_{0}. Logo,
W = K - K_{0} = \Delta K.

Resposta

W = \Delta K

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