(1) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}-\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}-\frac12.
Trata-se de um limite de função de duas variáveis. Para mostrar que ele não existe, vamos usar o método das retas de direção, verificando que o valor do limite depende da reta pela qual (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Escolha a reta y = x. Nesse caso
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}-\frac12 =\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}}-\frac12 =\frac{x^{2}}{2x^{2}}-\frac12 =\frac12-\frac12 =0.
Logo
\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}}-\frac12\Bigr) =0.

Passo 3

Escolha a reta y = -x. Nesse caso
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}-\frac12 =\frac{x(-x)}{x^{2}+(-x)^{2}}-\frac12 =-\frac{x^{2}}{2x^{2}}-\frac12 =-\frac12-\frac12 =-1.
Logo
\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{x(-x)}{x^{2}+(-x)^{2}}-\frac12\Bigr) =-1.

Resposta

O limite não existe, pois os valores 0 e -1 obtidos nas retas y=x e y=-x são diferentes.

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