Utilize o método das secções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=x ; x=1 ; x=2 ; y=0 em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por y=x, x=1, x=2 e y=0. O conteúdo aqui é o método das secções transversais (técnica dos discos), onde cada fatia perpendicular ao eixo x é um disco de raio dado pela função.

Passo 2

Para um valor fixo de x em [1,2], a distância da curva ao eixo x é y=x. Como a região inferior está em y=0, cada secção transversal é um disco de raio
R(x)=x
e raio interno r(x)=0.

Passo 3

A área de cada disco é
A(x)=\pi\bigl(R(x)\bigr)^{2}=\pi\,x^{2}.

Passo 4

O volume do sólido é a integral da área das secções de x=1 até x=2:
V = \int_{1}^{2} A(x)\,dx = \int_{1}^{2} \pi\,x^{2}\,dx.

Passo 5

Calculando a integral:
V = \pi \int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \pi \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \pi\Bigl(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\Bigr) = \frac{7\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle V = \frac{7\pi}{3}.

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