Utilize o Método dos Coeficientes Indeterminados para resolver a equação
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 2y' + y = e^{3x}
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro obter a solução geral da equação homogênea associada e em seguida encontrar uma solução particular para o termo não homogenéo e^{3x}.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 2y' + y = 0.
Formamos o polinômio característico
r^2 - 2r + 1 = 0
cuja única raiz dupla é r=1. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{x} + C_2\,x\,e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é e^{3x} e 3 não é raiz do característico, fazemos o palpite
y_p(x) = A\,e^{3x},
com A a constante indeterminada. Calculamos as derivadas:
y_p' = 3A\,e^{3x}, \quad y_p'' = 9A\,e^{3x}.

Passo 4

Substituindo em y'' - 2y' + y obtemos
y_p'' - 2y_p' + y_p = (9A - 6A + A)\,e^{3x} = 4A\,e^{3x}.
Para que isso seja igual a e^{3x} precisamos de
4A\,e^{3x} = e^{3x} \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{4}.
Logo
y_p(x) = \tfrac{1}{4}\,e^{3x}.

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{x} + C_2\,x\,e^{x} + \tfrac{1}{4}\,e^{3x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{x} + C_2\,x\,e^{x} + \tfrac{1}{4}\,e^{3x}.

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