Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)}\left(5 x^{3}-x^{2} y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite, se existir, de
\lim_{(x,y)\to(1,2)}\left(5x^{3}-x^{2}y^{2}\right).
Informações dadas:
\text{função }f(x,y)=5x^{3}-x^{2}y^{2},çã
e o ponto de aproximação é (1,2). A pergunta é se o limite existe quando (x,y) se aproxima de (1,2) e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Passo 2

Antes de calcular, vou explicar uma ideia chave que nos ajuda muito: regras de limite em várias variáveis. Elas são análogas às do caso unidimensional e dizem, por exemplo, que se os limites \lim_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y) e \lim_{(x,y)\to(a,b)}h(x,y) existem, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\big(g+h\big)=\lim_{(x,y)\to(a,b)}g+\lim_{(x,y)\to(a,b)}h,
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\big(g\cdot h\big)=\big(\lim_{(x,y)\to(a,b)}g\big)\cdot\big(\lim_{(x,y)\to(a,b)}h\big),
e para potências inteiras positivas:
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\big(g(x,y)\big)^n=\big(\lim_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y)\big)^n.
Essas regras valem quando os limites individuais existem e são finitos. Elas nos permitem quebrar expressões complicadas em peças mais simples.

Passo 3

Outra observação importante (que é muito usada em provas): polinômios em x e y são contínuos em todo ponto do plano. Isso quer dizer que, para uma expressão polinomial P(x,y),
\lim_{(x,y)\to(a,b)}P(x,y)=P(a,b).
A razão prática: polinômios são feitos por soma, produto e potências das variáveis x e y, e como essas operações preservam limites (veja o passo anterior), a substituição direta funciona. Vou usar essa propriedade aqui — é a forma mais rápida e segura na prova.

Passo 4

Aplicando a propriedade de continuidade (ou, se preferir, as regras de limite do Passo 2 aplicadas termo a termo) à função f(x,y)=5x^{3}-x^{2}y^{2}, temos que o limite quando (x,y)\to(1,2) é igual ao valor da função em (1,2):
\lim_{(x,y)\to(1,2)}\left(5x^{3}-x^{2}y^{2}\right)=5\cdot(1)^{3}-(1)^{2}\cdot(2)^{2}.

Passo 5

Agora faço as contas passo a passo (sem pular nada):
(1)^{3}=1,
(1)^{2}=1,
(2)^{2}=4,
então
5\cdot(1)^{3}=5\cdot 1=5,
(1)^{2}\cdot(2)^{2}=1\cdot 4=4,
e finalmente
5-4=1.

Passo 6

Conclusão didática rápida para levar para a prova: quando a função é polinomial em x e y, basta substituir o ponto (a,b) na expressão. Se quiser justificar formalmente, cite que polinômios são contínuos ou aplique as regras de limite termo a termo (soma, produto e potências).

Resposta

1

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