Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite, se existir, de
Informações dadas:
e o ponto de aproximação é
. A pergunta é se o limite existe quando
se aproxima de
e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Passo 2
Antes de calcular, vou explicar uma ideia chave que nos ajuda muito: regras de limite em várias variáveis. Elas são análogas às do caso unidimensional e dizem, por exemplo, que se os limites
e
existem, então
e para potências inteiras positivas:
Essas regras valem quando os limites individuais existem e são finitos. Elas nos permitem quebrar expressões complicadas em peças mais simples.
Passo 3
Outra observação importante (que é muito usada em provas): polinômios em
e
são contínuos em todo ponto do plano. Isso quer dizer que, para uma expressão polinomial
,
A razão prática: polinômios são feitos por soma, produto e potências das variáveis
e
, e como essas operações preservam limites (veja o passo anterior), a substituição direta funciona. Vou usar essa propriedade aqui — é a forma mais rápida e segura na prova.
Passo 4
Aplicando a propriedade de continuidade (ou, se preferir, as regras de limite do Passo 2 aplicadas termo a termo) à função
, temos que o limite quando
é igual ao valor da função em
:
Passo 5
Agora faço as contas passo a passo (sem pular nada):
então
e finalmente
Passo 6
Conclusão didática rápida para levar para a prova: quando a função é polinomial em
e
, basta substituir o ponto
na expressão. Se quiser justificar formalmente, cite que polinômios são contínuos ou aplique as regras de limite termo a termo (soma, produto e potências).