Determine se
é continua em
nas seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se
é contínua em
para a função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há outras condições ou imagens. A nossa tarefa é verificar se o limite de
quando
é igual a
.
Passo 2
Calculo primeiro o valor de
no ponto
. Substituindo
e
:
Passo 3
Lembrete (definição de continuidade) — o que precisamos provar:
é contínua em
se, e somente se,
Então nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 4
Observação sobre o denominador: para todo
vale
, então
logo o denominador nunca se anula e é sempre
. Assim
está bem definida em todo
e não há problema de domínio perto de
.
Passo 5
Vamos estimar o valor absoluto de
. Começamos por
Agora usamos uma desigualdade simples (resultado de
, que vem de
ou da desigualdade
): para todo
temos
Combinação das duas desigualdades dá, para todo
,
Passo 6
A desigualdade do passo anterior permite aplicar o argumento do “teorema do confronto” (squeeze): como
quando
, e
é menor ou igual a esse termo não-negativo, segue que
portanto
Passo 7
(Argumento
-
explícito para reforçar o entendimento.) Seja
dado. Se tomarmos
então sempre que
temos
, e com a estimativa do passo 5 obtemos
Isso mostra diretamente que o limite é
, segundo a definição
-
.
Passo 8
Como o limite de
quando
é igual a
, concluímos que
é contínua em
.