Determine se f é continua em (0,0) nas seguintes funções:
f(x, y)=\frac{x y}{1+e^{x-y}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se f é contínua em (0,0) para a função
f(x,y)=\frac{x y}{1+e^{x-y}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{função } f(x,y)=\frac{x y}{1+e^{x-y}}\quad\text{e o ponto a verificar: }(0,0).çã
Não há outras condições ou imagens. A nossa tarefa é verificar se o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é igual a f(0,0).

Passo 2

Calculo primeiro o valor de f no ponto (0,0). Substituindo x=0 e y=0:
f(0,0)=\frac{0\cdot 0}{1+e^{0-0}}=\frac{0}{1+1}=0.

Passo 3

Lembrete (definição de continuidade) — o que precisamos provar: f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Então nosso objetivo é mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 4

Observação sobre o denominador: para todo (x,y) vale e^{x-y}\ge 0, então
1+e^{x-y}\ge 1,
logo o denominador nunca se anula e é sempre \ge 1. Assim f está bem definida em todo \mathbb{R}^2 e não há problema de domínio perto de (0,0).

Passo 5

Vamos estimar o valor absoluto de f(x,y). Começamos por
\left|\frac{x y}{1+e^{x-y}}\right|\le \frac{|x y|}{1} = |x y|.
Agora usamos uma desigualdade simples (resultado de 2|x y|\le x^2+y^2, que vem de (x-y)^2\ge0 ou da desigualdade 2ab\le a^2+b^2): para todo x,y temos
|x y|\le \frac{x^2+y^2}{2}.
Combinação das duas desigualdades dá, para todo (x,y),
\left|\frac{x y}{1+e^{x-y}}\right|\le \frac{x^2+y^2}{2}.

Passo 6

A desigualdade do passo anterior permite aplicar o argumento do “teorema do confronto” (squeeze): como \dfrac{x^2+y^2}{2}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), e \left|\dfrac{x y}{1+e^{x-y}}\right| é menor ou igual a esse termo não-negativo, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left|\frac{x y}{1+e^{x-y}}\right| = 0,
portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y}{1+e^{x-y}} = 0.

Passo 7

(Argumento \varepsilon- \delta explícito para reforçar o entendimento.) Seja \varepsilon>0 dado. Se tomarmos
\delta=\sqrt{2\varepsilon},
então sempre que \sqrt{x^2+y^2}<\delta temos x^2+y^2<\delta^2=2\varepsilon, e com a estimativa do passo 5 obtemos
\left|\frac{x y}{1+e^{x-y}}\right|\le \frac{x^2+y^2}{2}<\frac{2\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Isso mostra diretamente que o limite é 0, segundo a definição \varepsilon- \delta.

Passo 8

Como o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é igual a f(0,0)=0, concluímos que f é contínua em (0,0).

Resposta

f é contínua em (0,0).

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