Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o limite, se existir, ou mostre que ele não existe:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
o ponto de interesse é
e a expressão não está definida em
porque o denominador vale zero lá. Portanto queremos saber se o valor da expressão quando
se aproxima de
tem um único valor limite ou depende do caminho de aproximação.
Passo 2
Pequena explicação didática sobre limites em duas variáveis (sem jargão): para que o limite
exista, todos os modos de chegar em
(todos os “caminhos”) têm de levar ao mesmo número. Uma técnica simples e poderosa é testar caminhos diferentes: se encontrarmos dois caminhos que produzem limites diferentes, então o limite total não existe. Vou aplicar isso aqui. Relaxa — a ideia é só escolher caminhos que equilibrem as potências de
e
na expressão.
Passo 3
Motivação para escolher um caminho: no numerador temos um termo do tipo
(produto entre potências), no denominador temos
. Para que as potências em numerador e denominador “entrem na mesma escala” ao aproximar
, é natural testar caminhos do tipo
com
. Isso porque
então vira
, da mesma ordem que
do termo
. Agora substituímos esse caminho na função.
Passo 4
Substituindo
na expressão:
Agora simplificamos passo a passo (tudo em display para ficar claro):
Como
enquanto nos aproximamos de zero (podemos cancelar
), obtemos
Observe: esse resultado não depende de
; é um número que depende só de
. Portanto, ao longo do caminho
, o valor da função tende para
quando
.
Passo 5
Agora usamos o critério de caminhos diferentes. Se escolhermos dois valores distintos de
e obtivermos resultados diferentes, concluímos que o limite total não existe. Tomemos exemplos concretos:
- Para
(ou seja, o caminho ), a expressão dá
- Para
(o caminho ), a expressão dá
Como
, já temos dois caminhos que levam a limites diferentes. Para reforçar, se
obtemos
, outro valor diferente.
Passo 6
Conclusão lógica: como o valor do limite ao longo de caminhos
depende de
e já encontramos dois caminhos com limites distintos (
e
), o limite quando
da função dada não pode ser único. Portanto o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.