Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{7 x^{3} y}{2 x^{6}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o limite, se existir, ou mostre que ele não existe:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{7x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
f(x,y)=\frac{7x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}},
o ponto de interesse é (0,0) e a expressão não está definida em (0,0) porque o denominador vale zero lá. Portanto queremos saber se o valor da expressão quando (x,y) se aproxima de (0,0) tem um único valor limite ou depende do caminho de aproximação.

Passo 2

Pequena explicação didática sobre limites em duas variáveis (sem jargão): para que o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista, todos os modos de chegar em (0,0) (todos os “caminhos”) têm de levar ao mesmo número. Uma técnica simples e poderosa é testar caminhos diferentes: se encontrarmos dois caminhos que produzem limites diferentes, então o limite total não existe. Vou aplicar isso aqui. Relaxa — a ideia é só escolher caminhos que equilibrem as potências de x e y na expressão.

Passo 3

Motivação para escolher um caminho: no numerador temos um termo do tipo x^{3}y (produto entre potências), no denominador temos 2x^{6}+y^{2}. Para que as potências em numerador e denominador “entrem na mesma escala” ao aproximar (0,0), é natural testar caminhos do tipo
y = m x^{3},
com m\in\mathbb{R}. Isso porque y^{2} então vira m^{2}x^{6}, da mesma ordem que x^{6} do termo 2x^{6}. Agora substituímos esse caminho na função.

Passo 4

Substituindo \displaystyle y = m x^{3} na expressão:
\frac{7x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}} = \frac{7x^{3}\,(m x^{3})}{2x^{6}+(m x^{3})^{2}}.
Agora simplificamos passo a passo (tudo em display para ficar claro):
\frac{7x^{3}\,m x^{3}}{2x^{6}+m^{2}x^{6}} = \frac{7m x^{6}}{(2 + m^{2})x^{6}}.
Como x\neq 0 enquanto nos aproximamos de zero (podemos cancelar x^{6}), obtemos
\frac{7m}{2 + m^{2}}.
Observe: esse resultado não depende de x; é um número que depende só de m. Portanto, ao longo do caminho y=m x^{3}, o valor da função tende para \dfrac{7m}{2+m^{2}} quando (x,y)\to(0,0).

Passo 5

Agora usamos o critério de caminhos diferentes. Se escolhermos dois valores distintos de m e obtivermos resultados diferentes, concluímos que o limite total não existe. Tomemos exemplos concretos:
  • Para m=0 (ou seja, o caminho y=0), a expressão dá
\frac{7\cdot 0}{2+0^{2}}=0.
  • Para m=1 (o caminho y=x^{3}), a expressão dá
\frac{7\cdot 1}{2+1^{2}}=\frac{7}{3}.
Como 0 \neq \dfrac{7}{3}, já temos dois caminhos que levam a limites diferentes. Para reforçar, se m=-1 obtemos -\dfrac{7}{3}, outro valor diferente.

Passo 6

Conclusão lógica: como o valor do limite ao longo de caminhos y=m x^{3} depende de m e já encontramos dois caminhos com limites distintos ( 0 e \dfrac{7}{3}), o limite quando (x,y)\to(0,0) da função dada não pode ser único. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados