Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{\sqrt[7]{x y}-1}{\sqrt[5]{x y}-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{\sqrt[7]{xy}-1}{\sqrt[5]{xy}-1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão depende apenas do produto xy.
  • Quando (x,y)\to(1,1), o produto xy tende a 1 (porque a multiplicação é contínua e 1\cdot1=1).
  • Portanto estamos diante de um caso em que a variável relevante é u=xy e u\to1 quando (x,y)\to(1,1).

Passo 2

Reduzimos o problema a um limite de uma variável substituindo u=xy. Como argumento: para qualquer sequência (x_n,y_n)\to(1,1) temos u_n=x_ny_n\to1, e a função original é uma composição que depende somente de u. Assim
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{\sqrt[7]{xy}-1}{\sqrt[5]{xy}-1} = \lim_{u\to1} \frac{u^{1/7}-1}{u^{1/5}-1}.

Passo 3

Vemos que, ao levar u\to1, tanto o numerador quanto o denominador vão para 0:
u^{1/7}-1\to0,\qquad u^{1/5}-1\to0,
portanto temos uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar uma propriedade básica de derivadas/limites: para qualquer expoente real a,
\lim_{u\to1}\frac{u^{a}-1}{u-1}=a,
porque a função f(u)=u^a é diferenciável em u=1 e f'(1)=a. Vou explicar isso com calma.

Passo 4

Explicando a propriedade usada: a derivada de f(u)=u^a é f'(u)=a\,u^{a-1} (esta é a regra de potência; aqui a pode ser qualquer real e consideramos u>0 perto de 1). Avaliando em u=1 obtemos f'(1)=a. Pela definição de derivada,
f'(1)=\lim_{u\to1}\frac{f(u)-f(1)}{u-1}=\lim_{u\to1}\frac{u^a-1}{u-1}=a.
Assim a fórmula é válida. (Intuição: para u muito próximo de 1, u^a-1 comporta-se como a(u-1).)

Passo 5

Aplicamos essa propriedade duas vezes ao limite reduzido. Escrevemos
\frac{u^{1/7}-1}{u^{1/5}-1} = \frac{\dfrac{u^{1/7}-1}{u-1}}{\dfrac{u^{1/5}-1}{u-1}}
e passamos ao limite u\to1. Pelas contas do passo anterior,
\lim_{u\to1}\frac{u^{1/7}-1}{u-1}=\frac{1}{7}, \qquad \lim_{u\to1}\frac{u^{1/5}-1}{u-1}=\frac{1}{5}.
Logo o limite procurado é
\frac{\tfrac{1}{7}}{\tfrac{1}{5}}=\frac{1}{7}\cdot\frac{5}{1}=\frac{5}{7}.

Resposta

\dfrac{5}{7}

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