Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão depende apenas do produto
. - Quando
, o produto tende a (porque a multiplicação é contínua e ). - Portanto estamos diante de um caso em que a variável relevante é
e quando .
Passo 2
Reduzimos o problema a um limite de uma variável substituindo
. Como argumento: para qualquer sequência
temos
, e a função original é uma composição que depende somente de
. Assim
Passo 3
Vemos que, ao levar
, tanto o numerador quanto o denominador vão para
:
portanto temos uma forma indeterminada
. Para resolver, vamos usar uma propriedade básica de derivadas/limites: para qualquer expoente real
,
porque a função
é diferenciável em
e
. Vou explicar isso com calma.
Passo 4
Explicando a propriedade usada: a derivada de
é
(esta é a regra de potência; aqui
pode ser qualquer real e consideramos
perto de
). Avaliando em
obtemos
. Pela definição de derivada,
Assim a fórmula é válida. (Intuição: para
muito próximo de
,
comporta-se como
.)
Passo 5
Aplicamos essa propriedade duas vezes ao limite reduzido. Escrevemos
e passamos ao limite
. Pelas contas do passo anterior,
Logo o limite procurado é