Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} 3 y^{8} \sqrt{2 x^{2}+5} \operatorname{sen}\left(\frac{3 x}{x^{2}+2 y^{2}}\right)
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine, se existir, o limite
A função dada é f(x,y)=3 y^{8} \sqrt{2 x^{2}+5}\,\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{3 x}{x^{2}+2 y^{2}}\right).
O fator \sqrt{2 x^{2}+5} é bem definido em todo (x,y) (já que 2x^2+5>0).
A função \operatorname{sen}(t) é limitada: para todo t vale |\operatorname{sen}(t)|\le 1.
O problema pode ter complicação aparente porque o argumento do seno, \dfrac{3x}{x^2+2y^2}, pode ficar grande quando (x,y)\to(0,0). Precisamos avaliar se essa oscilação impede a existência do limite ou não.
Queremos decidir se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar seu valor.
Passo 2
Primeiro passo técnico: controlar a parte oscilante com uma desigualdade simples usando o fato de que o seno é limitado. Escrevemos o valor absoluto da função e usamos |\operatorname{sen}(\cdot)|\le 1:
Explicando devagar: tirar o valor absoluto de um produto dá o produto dos valores absolutos; depois substituímos |\operatorname{sen}(\cdot)| por 1, que é um limite superior.
Passo 3
Agora precisamos mostrar que o lado direito da desigualdade tende a 0 quando (x,y)\to(0,0). Para isso é útil observar que \sqrt{2x^{2}+5} é uma função contínua e finita perto da origem, logo é limitada numa vizinhança do (0,0). Para tornar isso explícito, escolha uma vizinhança simples: para todo (x,y) com |x|\le 1 (ou seja, perto da origem),
2x^2+5 \le 2\cdot 1^2 +5 =7,
portanto
\sqrt{2x^2+5} \le \sqrt{7}.
Esse passo só garante a existência de uma constante finita que limite a raiz numa vizinhança do ponto; é suficiente para o nosso argumento de limite.
Passo 4
Com a desigualdade do Passo 2 e o limite superior do Passo 3 temos, para |x|\le 1,
Quando (x,y)\to(0,0) a coordenada y tende a 0, então |y|^{8}\to 0. Portanto o majorante 3\sqrt{7}\,|y|^{8} tende a 0. Pelo teorema do confronto, o módulo da nossa função também tende a 0, logo a própria função tende a 0.
Passo 6
Comentário para tirar dúvidas: a possível oscilação provocada por \dfrac{3x}{x^{2}+2y^{2}} não é problema, porque o seno desse argumento fica sempre entre -1 e 1. O fator decisivo é o y^{8}, que anula qualquer oscilação (é um fator que vai a zero muito rápido). Isso também pode ser visto por caminhos: por exemplo, ao longo de x=0 a função é identicamente 0; ao longo de y= k x o fator y^{8} é da ordem x^{8} e vai a 0. Todas as trajetórias têm o mesmo comportamento dominante: multiplicar por y^{8} manda o produto para 0.