Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - O ponto de aproximação é
. - Precisamos determinar se o limite existe; se existir, calcular o valor final.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento do numerador quando
. Primeiro mostro que
quando
.
Usamos a desigualdade clássica (consequência de
):
Quando
tem-se
, portanto
, ou seja,
Como
, temos
. Agora uso que a função
é contínua em torno de
(o que significa que se o argumento tende a
, a raiz tende a
). Logo
Passo 3
Agora estudo o denominador. Note que
quando
, logo
A função
é contínua para argumentos positivos; como
para todo
, podemos passar ao limite dentro do
:
Além disso,
(porque
e, portanto,
). Isso é importante para que a divisão faça sentido no limite.
Passo 4
Temos agora limites separados do numerador e do denominador:
Usando a propriedade de limites que diz que se
e
com
então
, concluímos que