Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x y+25}}{\ln \left(x^{2}+7\right)}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sqrt{x y+25}}{\ln\!\left(x^{2}+7\right)}.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A expressão do numerador é \sqrt{x y+25}.
  • A expressão do denominador é \ln\!\left(x^{2}+7\right).
  • O ponto de aproximação é (x,y)\to(0,0).
  • Precisamos determinar se o limite existe; se existir, calcular o valor final.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento do numerador quando (x,y)\to(0,0). Primeiro mostro que x y \to 0 quando (x,y)\to(0,0).
Usamos a desigualdade clássica (consequência de 2|xy|\le x^{2}+y^{2}):
|x y|\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Quando (x,y)\to(0,0) tem-se x^{2}+y^{2}\to 0, portanto |x y|\to 0, ou seja,
x y \longrightarrow 0 \quad\text{quando}\quad (x,y)\to(0,0).
Como x y \to 0, temos x y+25\to 25. Agora uso que a função \sqrt{\cdot} é contínua em torno de 25 (o que significa que se o argumento tende a 25, a raiz tende a \sqrt{25}). Logo
\sqrt{x y+25}\longrightarrow \sqrt{25}=5 \quad\text{quando}\quad (x,y)\to(0,0).

Passo 3

Agora estudo o denominador. Note que x^{2}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), logo
x^{2}+7 \longrightarrow 7 \quad\text{quando}\quad (x,y)\to(0,0).
A função \ln(\cdot) é contínua para argumentos positivos; como x^{2}+7>0 para todo x, podemos passar ao limite dentro do \ln:
\ln\!\left(x^{2}+7\right) \longrightarrow \ln 7 \quad\text{quando}\quad (x,y)\to(0,0).
Além disso, \ln 7\neq 0 (porque 7>1 e, portanto, \ln 7>0). Isso é importante para que a divisão faça sentido no limite.

Passo 4

Temos agora limites separados do numerador e do denominador:
\sqrt{x y+25}\longrightarrow 5 \qquad\text{e}\qquad \ln\!\left(x^{2}+7\right)\longrightarrow \ln 7\neq 0.
Usando a propriedade de limites que diz que se f\to A e g\to B com B\neq 0 então f/g\to A/B, concluímos que
\frac{\sqrt{x y+25}}{\ln\!\left(x^{2}+7\right)} \longrightarrow \frac{5}{\ln 7} \quad\text{quando}\quad (x,y)\to(0,0).

Resposta

\displaystyle \frac{5}{\ln 7}

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