Exemplo 3.20: A função f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}} & ,(x, y) \neq(0,0), \\\\ 0 & ,(x, y)=(0,0),\end{cases} é diferenciável em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pergunta se f é diferenciável em (0,0).
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
  • A expressão de f(x,y) fora da origem é \dfrac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}.
  • O valor no ponto (0,0) é f(0,0)=0.
  • A pergunta é: a função é diferenciável em (0,0)? (ou seja, existe diferencial linear que aproxime f em torno de (0,0)?)]

Passo 2

O que significa "diferenciável em (0,0)"? Vou explicar bem devagarinho.
  • Definição prática: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} (o diferencial) tal que, escrevendo h=(x,y),
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Isso quer dizer que o erro entre f e a aproximação linear f(0,0)+L(x,y) é pequeno de ordem menor que \sqrt{x^2+y^2}.
  • Uma consequência importante (e muito usada): se f é diferenciável em (0,0), então f é contínua em (0,0). Portanto, uma maneira rápida de descartar diferenciabilidade é mostrar que f não é contínua em (0,0).
  • Outra observação útil: se as derivadas parciais em (0,0) existem, elas determinam a aplicação linear candidata L. Vamos calcular essas derivadas parciais e depois verificar continuidade (ou não).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais em (0,0). Aqui uso a definição limite das derivadas parciais.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e x=h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{h^{2}\cdot 0}{h^{4}+0}=0. Então
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Para x=0 e y=k\neq0 temos f(0,k)=\dfrac{0\cdot k}{0+k^{2}}=0. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{0-0}{k}=0.
Portanto as derivadas parciais existem e valem zero. A aplicação linear candidata (o diferencial) seria L(x,y)=0 (a forma linear com coeficientes iguais às parciais).

Passo 4

Agora verificamos se a aproximação linear realmente funciona. Como a candidata é L(x,y)=0, a condição de diferenciabilidade implica que necessariamente
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-0}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0,
em particular isso exige que f(x,y)\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Ou seja, f precisa ser contínua em (0,0).
Mas vou mostrar que f não tende a 0 ao aproximar-se da origem por certas curvas. Considere a família de parábolas
y=kx^{2},\qquad k\in\mathbb{R}.
Para x\neq 0 ao substituir y=kx^{2} na expressão de f (peguei essa escolha porque o denominador tem x^{4} e y^{2}, então y da ordem de x^{2} pode cancelar potências):
f\bigl(x,kx^{2}\bigr) =\frac{x^{2}\cdot (k x^{2})}{x^{4}+(k x^{2})^{2}} =\frac{k x^{4}}{x^{4}+k^{2}x^{4}} =\frac{k x^{4}}{(1+k^{2})x^{4}} =\frac{k}{1+k^{2}}.
Observe que nessa expressão o x cancela completamente (para x\neq0), então ao fazermos x\to 0 mantendo a relação y=kx^{2} a função tende para o valor constante
\lim_{x\to 0} f\bigl(x,kx^{2}\bigr)=\frac{k}{1+k^{2}}.
Escolhendo k=1 obtemos
\lim_{x\to 0} f(x,x^{2})=\frac{1}{2}\neq 0.
Portanto existe uma curva que vai para (0,0) ao longo da qual f(x,y) tende a 1/2, não a 0. Em particular f não é contínua em (0,0).

Passo 5

Conclusão lógica: como diferenciabilidade implica continuidade, e aqui f não é contínua em (0,0) (vimos o contraexemplo da curva y=x^{2} que dá limite 1/2), a função não pode ser diferenciável em (0,0).
Comentário pedagógico rápido (para fixar): este é um caso clássico em que as derivadas parciais existem (aqui ambas são zero) mas a função não é contínua e, portanto, não é diferenciável. Derivadas parciais existindo não garantem diferenciabilidade — é preciso a condição mais forte da aproximação linear com erro pequeno em norma.

Resposta

Não, a função não é diferenciável em (0,0).

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