Isso quer dizer que o erro entre f e a aproximação linear f(0,0)+L(x,y) é pequeno de ordem menor que \sqrt{x^2+y^2}.
Uma consequência importante (e muito usada): se f é diferenciável em (0,0), então f é contínua em (0,0). Portanto, uma maneira rápida de descartar diferenciabilidade é mostrar que f não é contínua em (0,0).
Outra observação útil: se as derivadas parciais em (0,0) existem, elas determinam a aplicação linear candidata L. Vamos calcular essas derivadas parciais e depois verificar continuidade (ou não).
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais em (0,0). Aqui uso a definição limite das derivadas parciais.
Portanto as derivadas parciais existem e valem zero. A aplicação linear candidata (o diferencial) seria L(x,y)=0 (a forma linear com coeficientes iguais às parciais).
Passo 4
Agora verificamos se a aproximação linear realmente funciona. Como a candidata é L(x,y)=0, a condição de diferenciabilidade implica que necessariamente
em particular isso exige que f(x,y)\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Ou seja, f precisa ser contínua em (0,0).
Mas vou mostrar que f não tende a 0 ao aproximar-se da origem por certas curvas. Considere a família de parábolas
y=kx^{2},\qquad k\in\mathbb{R}.
Para x\neq 0 ao substituir y=kx^{2} na expressão de f (peguei essa escolha porque o denominador tem x^{4} e y^{2}, então y da ordem de x^{2} pode cancelar potências):
Observe que nessa expressão o x cancela completamente (para x\neq0), então ao fazermos x\to 0 mantendo a relação y=kx^{2} a função tende para o valor constante
Portanto existe uma curva que vai para (0,0) ao longo da qual f(x,y) tende a 1/2, não a 0. Em particular f não é contínua em (0,0).
Passo 5
Conclusão lógica: como diferenciabilidade implica continuidade, e aqui f não é contínua em (0,0) (vimos o contraexemplo da curva y=x^{2} que dá limite 1/2), a função não pode ser diferenciável em (0,0).
Comentário pedagógico rápido (para fixar): este é um caso clássico em que as derivadas parciais existem (aqui ambas são zero) mas a função não é contínua e, portanto, não é diferenciável. Derivadas parciais existindo não garantem diferenciabilidade — é preciso a condição mais forte da aproximação linear com erro pequeno em norma.