Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
x+y+z=e^{y z}, \quad(0,0,1)

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
x+y+z = e^{y z}
e o ponto (0,0,1). Pede:
(a) a equação do plano tangente à superfície naquele ponto;
(b) a equação da reta normal (reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano tangente) naquele ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \;x+y+z-e^{y z}=0.
  • O ponto de interesse é (x_0,y_0,z_0)=(0,0,1).
  • Para uma superfície dada por F(x,y,z)=0, o vetor gradiente \nabla F no ponto é um vetor normal ao plano tangente nesse ponto (vamos usar isso).

Passo 2

Defino a função de nível
F(x,y,z)=x+y+z-e^{y z}.
Vou calcular as derivadas parciais de F. Lembre que a derivada de e^{y z} em relação a y é e^{y z}\cdot z (regra da cadeia: derivada de y z em relação a y é z), e em relação a z é e^{y z}\cdot y. Assim:
F_x=\frac{\partial F}{\partial x}=1,
F_y=\frac{\partial F}{\partial y}=1 - z\,e^{y z},
F_z=\frac{\partial F}{\partial z}=1 - y\,e^{y z}.
Expliquei cada termo: o 1 em F_x vem de derivar x; em F_y e F_z o termo -e^{y z} produz os fatores extras por regra da cadeia.

Passo 3

Avalio as parciais no ponto (0,0,1). Primeiro calcule e^{y z} nesse ponto: e^{0\cdot1}=e^{0}=1. Substituindo,
F_x(0,0,1)=1,
F_y(0,0,1)=1 - 1\cdot 1=0,
F_z(0,0,1)=1 - 0\cdot 1=1.
Logo o gradiente no ponto é
\nabla F(0,0,1)=(1,0,1).
Breve interpretação didática: \nabla F(0,0,1) é um vetor perpendicular a toda direção tangente à superfície naquele ponto; por isso ele é um vetor normal ao plano tangente.

Passo 4

A equação do plano tangente a uma superfície F(x,y,z)=0 no ponto (x_0,y_0,z_0) é dada por
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot\bigl(x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0\bigr)=0.
Substituindo \nabla F(0,0,1)=(1,0,1) e (x_0,y_0,z_0)=(0,0,1), obtemos
1\cdot(x-0)+0\cdot(y-0)+1\cdot(z-1)=0.
Ou seja,
x+z-1=0.
Isto é a equação do plano tangente. Pode-se rearranjar para z=1-x se preferir.

Passo 5

Vou confirmar (opcional, mas didático) usando diferenciação implícita para obter \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} e montar o plano pela forma z-z_0 = z_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + z_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Diferenciando x+y+z=e^{y z} em relação a x (tratando y como constante e z=z(x,y)):
1 + z_x = e^{y z}\cdot (y z_x).
Agrupando termos em z_x:
z_x\bigl(1 - y e^{y z}\bigr) = -1.
No ponto (0,0,1) temos y=0 e e^{y z}=1, então z_x(0,0)=-1.
Diferenciando em relação a y:
1 + z_y = e^{y z}\cdot\bigl(z + y z_y\bigr).
Agrupando z_y:
z_y\bigl(1 - y e^{y z}\bigr) = e^{y z}z - 1.
No ponto (0,0,1) isso dá z_y(0,0)=1-1=0. Usando a fórmula do plano:
z-1 = (-1)(x-0) + 0\cdot(y-0),
que novamente dá z=1-x. Confirmação concluída.

Passo 6

Agora a reta normal: a direção da reta normal é precisamente o vetor normal \nabla F(0,0,1)=(1,0,1). A reta que passa por (0,0,1) com direção (1,0,1) tem representação paramétrica com parâmetro t:
x(t)=0+1\cdot t = t,
y(t)=0+0\cdot t = 0,
z(t)=1+1\cdot t = 1+t.
Em forma vetorial:
(x,y,z)=(0,0,1)+t(1,0,1),\quad t\in\mathbb{R}.
Observação: não usar a forma simétrica dividindo por 0 (pois a componente em y é zero); a forma paramétrica é a mais apropriada aqui.

Resposta

x+z-1=0
(x,y,z)=(0,0,1)+t(1,0,1),\\ t\in\mathbb{R}

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