Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado dá a superfície implícita
e o ponto
. Pede:
(a) a equação do plano tangente à superfície naquele ponto;
(b) a equação da reta normal (reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano tangente) naquele ponto.
(a) a equação do plano tangente à superfície naquele ponto;
(b) a equação da reta normal (reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano tangente) naquele ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície é o conjunto de pontos
que satisfazem . - O ponto de interesse é
. - Para uma superfície dada por
, o vetor gradiente no ponto é um vetor normal ao plano tangente nesse ponto (vamos usar isso).
Passo 2
Defino a função de nível
Vou calcular as derivadas parciais de
. Lembre que a derivada de
em relação a
é
(regra da cadeia: derivada de
em relação a
é
), e em relação a
é
. Assim:
Expliquei cada termo: o
em
vem de derivar
; em
e
o termo
produz os fatores extras por regra da cadeia.
Passo 3
Avalio as parciais no ponto
. Primeiro calcule
nesse ponto:
. Substituindo,
Logo o gradiente no ponto é
Breve interpretação didática:
é um vetor perpendicular a toda direção tangente à superfície naquele ponto; por isso ele é um vetor normal ao plano tangente.
Passo 4
A equação do plano tangente a uma superfície
no ponto
é dada por
Substituindo
e
, obtemos
Ou seja,
Isto é a equação do plano tangente. Pode-se rearranjar para
se preferir.
Passo 5
Vou confirmar (opcional, mas didático) usando diferenciação implícita para obter
e
e montar o plano pela forma
.
Diferenciando
em relação a
(tratando
como constante e
):
Agrupando termos em
:
No ponto
temos
e
, então
.
Diferenciando em relação a
:
Agrupando
:
No ponto
isso dá
. Usando a fórmula do plano:
que novamente dá
. Confirmação concluída.
Passo 6
Agora a reta normal: a direção da reta normal é precisamente o vetor normal
. A reta que passa por
com direção
tem representação paramétrica com parâmetro
:
Em forma vetorial:
Observação: não usar a forma simétrica dividindo por 0 (pois a componente em
é zero); a forma paramétrica é a mais apropriada aqui.