Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} \frac{x-y-1}{\sqrt{x-y-1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(2,1)}\frac{x - y - 1}{\sqrt{x - y - 1}}.
Isso envolve limites em \mathbb{R}^2 e manipulação de expressões com raiz quadrada, lembrando que \sqrt{\cdot} exige argumento não negativo.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar
t = x - y - 1.
Quando (x,y)\to(2,1), temos t\to 2 - 1 - 1 = 0.

Passo 3

Na região em que a função está definida, deve valer t > 0 (pois não podemos tirar raiz de número negativo nem dividir por zero). Nessa região, a expressão original fica
\frac{t}{\sqrt{t}} = \sqrt{t}.

Passo 4

Agora calculamos o limite de \sqrt{t} quando t\to 0^+:
\lim_{t\to 0^+}\sqrt{t} = 0.

Passo 5

Como todo caminho em que (x,y)\to(2,1) dentro do domínio x - y - 1 > 0 leva a t\to0^+ e, portanto, \sqrt{t}\to0, concluímos que o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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