Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(2,-1,2)} \frac{x z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de três variáveis
f(x,y,z) = \frac{x\,z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
quando (x,y,z) tende ao ponto (2,-1,2). Este é um problema de limites de funções multivariáveis, e vamos usar o fato de que quocientes de funções polinomiais são contínuos sempre que o denominador for diferente de zero.

Passo 2

Verificamos o denominador em (2,-1,2):
x^{2}+y^{2}+z^{2}\Big|_{(2,-1,2)} =2^{2}+(-1)^{2}+2^{2} =4+1+4 =9\neq0.
Como o denominador não se anula no ponto, podemos aplicar diretamente a continuidade de f e calcular o limite pela substituição.

Passo 3

Substituindo (x,y,z)=(2,-1,2) em f(x,y,z), obtemos
\frac{x\,z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \Bigg|_{(2,-1,2)} =\frac{2\cdot 2^{2}}{4+1+4} =\frac{2\cdot 4}{9} =\frac{8}{9}.

Resposta

\lim_{(x,y,z)\to(2,-1,2)}\frac{x\,z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} =\frac{8}{9}.

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