Mostre que:
log imath=pi imath2 pm 2 n pi imath, n=0,1,2, ldots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o logaritmo complexo de imath satisfaz log imath = pi imath2 pm 2 n pi imath, com n = 0,1,2,dots. O conteúdo principal aqui é o logaritmo de um número complexo, para o qual vamos usar a forma polar e a multivaluação do argumento.

Passo 2

Na teoria de números complexos, definimos o logaritmo de zneq0 por
onde é o argumento de log z = ln|z| + imathArg(z),, que é multivalorado:
sendo Arg(z) um argumento principal.

Passo 3

Para z=imath, encontramos o módulo e o argumento principal:
|imath| = 1,
o que implica ln|imath|=ln1=0, e o argumento principal de imath é
arg(imath)=pi2
Como o argumento é multivalorado, em geral

Passo 4

Substituindo esses valores na definição do logaritmo complexo, obtemos:
logimath = ln1 + imathl(tfracpi2 + 2pi nr) = 0 + imathpi2 + 2pi nimath = pi imath2 + 2npiimath

Passo 5

Como a questão toma n=0,1,2,dots e escreve o termo adicional como pm2npiimath, concluímos que
logimath = piimath2 pm 2npiimath, n=0,1,2,dots

Resposta

logimath = piimath2 pm 2npiimath, n=0,1,2,dots

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