Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o logaritmo complexo de
satisfaz
, com
. O conteúdo principal aqui é o logaritmo de um número complexo, para o qual vamos usar a forma polar e a multivaluação do argumento.
Passo 2
Na teoria de números complexos, definimos o logaritmo de
por
onde é o argumento de
, que é multivalorado:
sendo
um argumento principal.
Passo 3
Para
, encontramos o módulo e o argumento principal:
o que implica
, e o argumento principal de
é
Como o argumento é multivalorado, em geral
Passo 4
Substituindo esses valores na definição do logaritmo complexo, obtemos:
Passo 5
Como a questão toma
e escreve o termo adicional como
, concluímos que