A integral integral1raiz2^raiz2(1-t) raiz2-t^2 d t tem valor pi3-raiz3D. Determine D :
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de (1 - t) raiz2 - t^2 no intervalo de 1raiz2 a raiz2. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais envolvendo substituição trigonométrica e propriedades de integrais definidas. Vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a parte da integral que tem a raiz quadrada: raiz2 - t^2. Isso sugere que uma substituição trigonométrica pode ser útil. Vamos usar a substituição:
t = raiz2 sin theta
Isso simplifica a expressão dentro da raiz, porque:
2 - t^2 = 2 - 2 sin^2 theta = 2(1 - sin^2 theta) = 2 cos^2 theta
Assim, raiz2 - t^2 = raiz2 cos theta.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dt em termos de theta. Fazendo a derivada de t = raiz2 sin theta, temos:
dt = raiz2 cos theta , dtheta
Substituindo t e dt na integral original, ficamos com:
integral (1 - raiz2 sin theta) cdot raiz2 cos theta cdot raiz2 cos theta , dtheta
Simplificando os termos:
integral (1 - raiz2 sin theta) cdot 2 cos^2 theta , dtheta

Passo 4

Vamos ajustar os limites de integração para termos em termos de theta. Quando t = 1raiz2:
1raiz2 = raiz2 sin theta Rightarrow sin theta = 12 Rightarrow theta = pi6
E quando t = raiz2:
raiz2 = raiz2 sin theta Rightarrow sin theta = 1 Rightarrow theta = pi2
Então, os novos limites são de pi6 a pi2.

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
2 cos^2 theta - 2 raiz2 sin theta cos^2 theta
Isso nos dá duas integrais separadas:
2 integralpi6^pi2 cos^2 theta , dtheta - 2 raiz2 integralpi6^pi2 sin theta cos^2 theta , dtheta

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
2 integral cos^2 theta , dtheta
Usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então:
2 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = integral (1 + cos 2theta) , dtheta = theta + sin 2theta2
Segunda integral:
-2 raiz2 integral sin theta cos^2 theta , dtheta
Fazemos a substituição u = cos theta, então du = -sin theta , dtheta. A integral fica:
-2 raiz2 integral u^2 (-du) = 2 raiz2 integral u^2 , du = 2 raiz2 cdot u^33 = 2 raiz23 cos^3 theta

Passo 7

Agora, juntando as duas partes, a integral total é:
[ theta + sin 2theta2 ]pi6^pi2 + [ 2 raiz23 cos^3 theta ]pi6^pi2
Vamos calcular cada termo nos limites.
Para theta = pi2:
  • theta = pi2
  • sin 2theta = sin pi = 0
  • cos^3 theta = cos^3 pi2 = 0
Para theta = pi6:
  • theta = pi6
  • sin 2theta = sin pi3 = raiz32
  • cos^3 theta = cos^3 pi6 = (raiz32)^3 = 3raiz38
Substituindo:
Integral = ( pi2 + 0 ) - ( pi6 + raiz34 ) + ( 0 - 2 raiz23 cdot 3raiz38 )
Simplificando:
Integral = pi2 - pi6 - raiz34 - 2 raiz2 cdot 3raiz324
Simplificando mais:
Integral = pi3 - raiz34 - raiz64

Passo 8

De acordo com o enunciado, a integral é igual a pi3 - raiz3D. Comparando com o que encontramos:
pi3 - raiz34 - raiz64 = pi3 - raiz3 + raiz64
Para que as duas expressões sejam iguais, devemos ter:
raiz3 + raiz64 = raiz3D

Resposta

Resolvendo a igualdade, temos:
raiz3 + raiz64 = raiz3D Rightarrow D = 4 raiz3raiz3 + raiz6 = 41 + raiz2
Racionalizando o denominador:
D = 41 + raiz2 cdot 1 - raiz21 - raiz2 = 4 (1 - raiz2)1 - 2 = 4 (raiz2 - 1)
Portanto,
D = 4 (raiz2 - 1)

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