A integral
tem valor
. Determine
:
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais envolvendo substituição trigonométrica e propriedades de integrais definidas. Vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a parte da integral que tem a raiz quadrada:
. Isso sugere que uma substituição trigonométrica pode ser útil. Vamos usar a substituição:
Isso simplifica a expressão dentro da raiz, porque:
Assim,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Fazendo a derivada de
, temos:
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos ajustar os limites de integração para termos em termos de
. Quando
:
E quando
:
Então, os novos limites são de
a
.
Passo 5
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Isso nos dá duas integrais separadas:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Segunda integral:
Fazemos a substituição
, então
. A integral fica:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes, a integral total é:
Vamos calcular cada termo nos limites.
Para
:
Para
:
Substituindo:
Integral =
Simplificando:
Integral =
Simplificando mais:
Integral =
Passo 8
De acordo com o enunciado, a integral é igual a
. Comparando com o que encontramos:
Para que as duas expressões sejam iguais, devemos ter:
Resposta
Resolvendo a igualdade, temos:
Racionalizando o denominador:
Portanto,