Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-8

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI y'-yt+1=2t+2, com t>-1 e condição inicial y(1)=-3. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a ED na forma padrão y'+p(t)y=g(t). Aqui temos p(t)=-1t+1 e g(t)=2t+2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t)=e^integral p(t),dt:
mu(t)=expl(integral -1t+1,dtr)=exp(-ln|t+1|)=1t+1

Passo 4

Multiplicando a ED por mu(t)=1t+1 e usando que
$$\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{y}{t+1}\Bigr)=\frac{y

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
yt+1=integral 2,dt=2t+C
Isolando y surge a solução geral
y=(t+1)(2t+C)

Passo 6

Expandindo,
y=2t^2+(C+2)t+C

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(1)=-3:
-3=2cdot1^2+(C+2)cdot1+C=4+2C,
logo 2C=-7 e C=-tfrac72.

Passo 8

Substituindo C=-tfrac72 na solução geral, obtemos
y(t)=2t^2-tfrac32t-tfrac72, t>-1

Resposta

y(t)=2t^2-tfrac32t-tfrac72, t>-1

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