Questão 4: (2.5 pontos)
Resolver o problema de valores inicial:
l y^prime prime(t)+4 y(t)=g(t) y(0)=y^prime(0)=0
onde
g(t)=lll t & se & 0 <= t<1 2-t & se & 1 <= t<2 0 & se & 2 <= t<infty

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valores iniciais
y''(t) + 4,y(t) = g(t), y(0)=0, y'(0)=0,
onde
g(t)= t,&0<= t<1, 2-t,&1<= t<2, 0,&t>=2
Isso é um ODE linear de segunda ordem com condições nulas. Vamos usar a representação de Duhamel (convolução com a resposta ao impulso) para escrever
y(t)=integral0^th(t-tau),g(tau),dtau,
onde h(t) é a solução de
h''(t)+4,h(t)=de<a(t), h(0)=0,;h'(0)=1
Sabe-se que
h(t)=tfrac12sin(2t)(t>=0)

Passo 2

Para 0<= t<1 temos g(tau)=tau para tauin[0,t]. Logo
y(t) =integral0^ttfrac12sinl(2(t-tau)r),tau,dtau
Fazendo a mudança u=t-tau e integrando por partes, obtém-se
y(t) =t4-18sin(2t)

Passo 3

Para 1<= t<2 a integral se divide em dois trechos: tauin[0,1] com g(tau)=tau e tauin[1,t] com g(tau)=2-tau. Após calcular cada parte (novamente por mudança de variável e partes), chega-se a
y(t) =2-t4 +14sinl(2(t-1)r) -18sin(2t)

Passo 4

Para t>=2 a força g(tau) anula-se quando tau>=2, então só integramos de 0 a 2. Fazendo contas semelhantes, o resultado final é
y(t) =14sinl(2(t-1)r) -18sin(2t) -18sinl(2(t-2)r)

Resposta

Para resumir, a solução é
y(t)= dfract4-dfrac18sin(2t),&0<= t<1,[1em] dfrac2-t4 +dfrac14sinl(2(t-1)r) -dfrac18sin(2t),&1<= t<2,[1em] dfrac14sinl(2(t-1)r) -dfrac18sin(2t) -dfrac18sinl(2(t-2)r),&t>=2 ]

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