Determine um limite inferior e um limite superior para as seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar um limite inferior e um limite superior para a sequência $ \left{n^{2} \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right)\right} $. Isso faz parte do conteúdo de Análise de Sequências, onde analisamos como os termos de uma sequência se comportam conforme $ n $ cresce. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta com diferentes argumentos e como isso afeta nossa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão $ \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) $. Sabemos que o seno de múltiplos de $ \frac{\pi}{2} $ resulta em valores específicos:
- Quando $ n = 1 $, $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
- Quando $ n = 2 $, $ \sin(\pi) = 0 $
- Quando $ n = 3 $, $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $
- Quando $ n = 4 $, $ \sin(2\pi) = 0 $
E assim por diante. Observamos que $ \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) $ oscila entre 0, 1 e -1 dependendo do valor de $ n $.
Passo 3
Como estamos trabalhando com $ \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right) $, vamos elevar ao quadrado esses valores:
- $ \sin^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
- $ \sin^{2}(\pi) = 0 $
- $ \sin^{2}\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 1 $
- $ \sin^{2}(2\pi) = 0 $
Percebe que $ \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right) $ alterna entre 0 e 1 para valores pares e ímpares de $ n $.
Passo 4
Agora, vamos considerar a sequência completa $ n^{2} \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right) $:
- Para $ n $ ímpar: $ \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right) = 1 $, então o termo é $ n^{2} $
- Para $ n $ par: $ \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right) = 0 $, então o termo é $ 0 $
Isso significa que a sequência alterna entre $ n^{2} $ e 0 conforme $ n $ aumenta.
Passo 5
Para encontrar o limite inferior (inf) e o limite superior (sup), analisamos os valores mínimos e máximos que a sequência atinge:
-
Limite inferior: Observamos que sempre que $ n $ é par, o termo é 0. Portanto, o menor valor que a sequência atinge é 0.
-
Limite superior: Quando $ n $ é ímpar, o termo é $ n^{2} $, que cresce sem limites conforme $ n $ aumenta. Portanto, o limite superior é infinito.
Resposta
O limite inferior da sequência é $ 0 $ e o limite superior é $ +\infty $.