Determine um limite inferior e um limite superior para as seguintes sequências:
n^2 sen^2(n pi2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar um limite inferior e um limite superior para a sequência $ \left{n^{2} \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right)\right} $. Isso faz parte do conteúdo de Análise de Sequências, onde analisamos como os termos de uma sequência se comportam conforme $ n $ cresce. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta com diferentes argumentos e como isso afeta nossa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão $ \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) $. Sabemos que o seno de múltiplos de $ \frac{\pi}{2} $ resulta em valores específicos:
  • Quando $ n = 1 $, $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
  • Quando $ n = 2 $, $ \sin(\pi) = 0 $
  • Quando $ n = 3 $, $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $
  • Quando $ n = 4 $, $ \sin(2\pi) = 0 $
E assim por diante. Observamos que $ \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) $ oscila entre 0, 1 e -1 dependendo do valor de $ n $.

Passo 3

Como estamos trabalhando com $ \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right) $, vamos elevar ao quadrado esses valores:
  • $ \sin^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
  • $ \sin^{2}(\pi) = 0 $
  • $ \sin^{2}\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 1 $
  • $ \sin^{2}(2\pi) = 0 $
Percebe que $ \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right) $ alterna entre 0 e 1 para valores pares e ímpares de $ n $.

Passo 4

Agora, vamos considerar a sequência completa $ n^{2} \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right) $:
  • Para $ n $ ímpar: $ \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right) = 1 $, então o termo é $ n^{2} $
  • Para $ n $ par: $ \sin^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right) = 0 $, então o termo é $ 0 $
Isso significa que a sequência alterna entre $ n^{2} $ e 0 conforme $ n $ aumenta.

Passo 5

Para encontrar o limite inferior (inf) e o limite superior (sup), analisamos os valores mínimos e máximos que a sequência atinge:
  • Limite inferior: Observamos que sempre que $ n $ é par, o termo é 0. Portanto, o menor valor que a sequência atinge é 0.
  • Limite superior: Quando $ n $ é ímpar, o termo é $ n^{2} $, que cresce sem limites conforme $ n $ aumenta. Portanto, o limite superior é infinito.

Resposta

O limite inferior da sequência é $ 0 $ e o limite superior é $ +\infty $.

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