Determine um limite inferior e um limite superior para as seguintes sequências:
(-1)^n n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar um limite inferior e um limite superior para a sequência (-1)^n n . Isso está dentro do conteúdo de Análise de Sequências, especificamente sobre limites inferiores e superiores. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento da sequência se dá conforme n aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência (-1)^n n . O termo geral dessa sequência é (-1)^n n , onde n é um número natural (1, 2, 3, …). O (-1)^n faz a sequência alternar entre positivo e negativo conforme n aumenta.

Passo 3

Vamos ver alguns termos para entender melhor:
  • Para n = 1 : (-1)^1 times 1 = -1
  • Para n = 2 : (-1)^2 times 2 = 2
  • Para n = 3 : (-1)^3 times 3 = -3
  • Para n = 4 : (-1)^4 times 4 = 4
  • E assim por diante…
Podemos observar que a sequência alterna entre valores negativos e positivos que aumentam em magnitude conforme n cresce.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre limite superior e limite inferior:
  • Limite Superior (lim sup): É o menor número que é maior ou igual a todos os limites das subsequências que convergem. No nosso caso, as subsequências pares ( n par) são sempre positivas e tendem ao infinito.
  • Limite Inferior (lim inf): É o maior número que é menor ou igual a todos os limites das subsequências que convergem. As subsequências ímpares ( n ímpar) são sempre negativas e tendem ao menos infinito (ou seja, -infty ).

Passo 5

Aplicando isso à nossa sequência:
  • As subsequências com n par: 2, 4, 6, dots tendem para +infty .
  • As subsequências com n ímpar: -1, -3, -5, dots tendem para -infty .
Portanto:
  • Limite Superior: Como as subsequências pares tendem para +infty , o limite superior da sequência é +infty .
  • Limite Inferior: Como as subsequências ímpares tendem para -infty , o limite inferior da sequência é -infty .

Resposta

O limite inferior da sequência (-1)^n n é -infty e o limite superior é +infty .

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