Determine um limite inferior e um limite superior para as seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar um limite inferior e um limite superior para a sequência
. Isso está dentro do conteúdo de Análise de Sequências, especificamente sobre limites inferiores e superiores. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento da sequência se dá conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. O termo geral dessa sequência é
, onde
é um número natural (1, 2, 3, …). O
faz a sequência alternar entre positivo e negativo conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos ver alguns termos para entender melhor:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Podemos observar que a sequência alterna entre valores negativos e positivos que aumentam em magnitude conforme
cresce.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre limite superior e limite inferior:
-
Limite Superior (lim sup): É o menor número que é maior ou igual a todos os limites das subsequências que convergem. No nosso caso, as subsequências pares (
par) são sempre positivas e tendem ao infinito. -
Limite Inferior (lim inf): É o maior número que é menor ou igual a todos os limites das subsequências que convergem. As subsequências ímpares (
ímpar) são sempre negativas e tendem ao menos infinito (ou seja, ).
Passo 5
Aplicando isso à nossa sequência:
- As subsequências com
par: tendem para . - As subsequências com
ímpar: tendem para .
Portanto:
-
Limite Superior: Como as subsequências pares tendem para
, o limite superior da sequência é . -
Limite Inferior: Como as subsequências ímpares tendem para
, o limite inferior da sequência é .
Resposta
O limite inferior da sequência
é
e o limite superior é
.